從線段到向量

張碩

摘要：本文首先由最基本的數學幾何與代數知識出發，一步步引出維度理論，闡述數學中維度理論的本質在于研究用于描述特定對象的獨立參數。接著進一步論述了獨立參數的作用和選取原則，并結合高中數學中的知識，做多方面的闡述。最后對維度理論在高中階段的應用意義做了探討。

關鍵詞：向量；維度；獨立參數

一、概念引入

1、點、線、面、體。從小學數學開始，我們就學習了點、線、面、體的幾何知識，這可以看作維度理論的入門。最常見的說法是：點代表零維，線代表一維，面代表二維，體代表三維。區別幾種維度的依據在于確定一個點所需的坐標個數，在直線上確定一點需要一個坐標值，在平面上確定一個點需要兩個坐標值，在空間中確定一個點則需要三個坐標值[1]。

2、標量與矢量。坐標的概念很容易理解，但在小學階段沒有明確指出不同坐標個數所代表意義的差異，平面上的點和空間里的點并沒有什么不同。進入中學之后，引入了標量與向量的概念，線段屬于標量，只有長度，而向量除了長度還有方向。這里的“長度”和“方向”即為描述某一對象的“參數”，當加入“方向”這一參數后，向量的運算法則與線段有了顯著的不同。可以試想，越多的參數意味著將對象描述得更豐富，但處理起來也更復雜，維度理論的面貌此時已逐漸浮出水面[2]。

3、獨立參數。通俗來說，所謂維度，就是指描述一個對象所需要的不同指標的個數，比如用身高、體重、年齡來描述一個人。而在數學上，這些“指標”稱之為“參數”，為了方便進一步的研究，不同參數需要相互獨立，否則在表達和計算時會變得復雜，這也就解釋了為什么最常用的坐標系是直角坐標系。同時需要說明的是，描述同一對象的特征參數可以選取不同的組合，比如用起點和終點的x，y坐標可以描述一個向量，用長度和方向也可以描述一個向量[3]。

二、思維剖析

1、參數的作用。參數的作用在于描述對象，引入更多的維度即更多數目的獨立參數，可以將對象描述得更完整。以向量為例，加入方向后運算法則出現變化，向量的加減不再是簡單地數量上的和與差，而是需要根據角度關系進行“合成”；同時，在乘積運算上，出現了數量積和向量積的區別，運算的結果分別是一個數和一個向量。由此可見維度的增加使得對描述對象的性質研究得到擴展。這種變化在數學中比較抽象，不容易看出其意義。但結合物理上的力的合成與速度的合成，則可以很容易地理解，如果沒有“方向”這一參數，那么不可能有進一步的分析，只能簡單地研究方向相同的力與速度[4]。

2、參數的選取。前文說過，描述對象的參數可以有不同的組合，而參數選取的依據在于實際問題的需要。比如在平面中研究問題，同樣是二維的情況，但可以選擇不同的坐標系：直角坐標系和極坐標系，一般直角坐標系用得多，但在涉及到圓或強調方向的場合（比如導航），則用極坐標系更加簡便[5]。

3、實例分析。在高中階段對維度理論并沒有深入系統的學習，這里僅從側面來說明維度理論。對于一些常見的數學知識，如果從維度理論的角度來看，會有意向不到的結果。

（1）復數理論。數，本是一個最簡單的概念，在引入虛數之前，數軸上的任何一個點都可以用一個坐標來表示，但引入虛數之后，實數軸成了復數平面，一個復數需要兩個坐標才能確定。這里的點和坐標之間建立了“映射”，與函數的概念相通，實數軸只有一維坐標，對應一元函數，復數平面具有二維坐標，對應二元函數。雖然高中階段沒有系統學習二元函數，但從這里已經可以看到端倪。

（2）參數方程。參數方程的應用是針對高中數學的一類特殊題型，通過將普通方程化為參數方程，便可放在極坐標系中進行研究，以簡化運算。這種變換是對維度理論的靈活運用，通過調整獨立參數的選擇來簡化問題。

（3）線性規劃。在高中階段，線性規劃問題實際上是線性二元函數求極值的問題，暫時只能通過圖像法來解決。一元函數求極值通常需要用導數，從這一點進行推想，二元以至多元函數應當也有導數的求法，但由于維度增加了，其算法也更復雜。

（4）多維理論初探。受限于高中所學知識，對多維理論無法詳細論述，這里只闡述一個思想：如果能從一維升到二維，二維升到三維，那么必然有四維、五維以至更高維，哪怕此時難以找到對應的形象來描述這種維度。這種由此及彼、類推擴展的思想也是維度理論的一部分。

三、應用意義

1、指導數學學習。維度理論代表的是一種思想，一種參數化的分析思想。掌握一定的數學思想有助于將不同的知識點融會貫通，并且這種系統化的分析方法有助于數學思維的訓練。

2、與其他領域結合。數學與物理學的聯系非常緊密，沒有數學理論做基礎，物理學就缺乏基本的研究工具。正如前文所說，沒有向量運算法則，就沒有速度合成定理。物理學中對維度的描述與數學有所不同，但本質是一樣的，三維空間加上時間維度構成四維空間，新的物理理論提出描述宇宙四維也是不夠的，需要更高維度，這些維度實際上都是描述“世界”的“參數”。

數學向下走是物理學，向上走是哲學。參數意味著表達某種特征，在哲學上可以理解為表象與本質之間的聯系，而不同參數間的關系又反映了普遍聯系的哲學思想。

四、結語

從小學到高中，維度理論以較為零散的形式出現在不同的知識點中。本文總結了其中的規律性，從普通高中生的視角對其做了系統性地梳理，從一些常見的知識點中進行挖掘，找出其潛在聯系。本文所涉及的知識并不深奧，但對于掌握這一數學思想有著比較好的啟發作用。

參考文獻

[1] 姚龍濤.淺談中學數學教學中的空間想象力[J].科學咨詢，2011（9）：124.

[2] 陳燕梅.淺談想象力在語文教學中的重要性[J].讀與寫（教育教學刊），2015（08）：205.

[3] 馬兆富.淺談怎樣學好高中數學[J].試題與研究：新課程論壇，2011（14）：24.

[4] 凌秋芬.淺談怎樣學好高中數學[J].神州（下旬刊），2012（4）：219-220.

[5] 朱立明，馬云鵬.“數學符號意識”研究：內涵與維度[J].教育理論與實踐，2015，v.35；No.559（32）：8-10.endprint