多線性Hausdorff算子在Morrey-Herz空間上的加權估計

廖嬡嬡

(浙江師范大學 數理與信息工程學院，浙江 金華 321004)

Hausdorff算子在調和分析中有悠久的歷史，從最初的級數求和逐漸延伸到Hausdorff算子求和，并且它在復分析以及偏微分方程等分支中有廣泛的運用。通常，一維Hausdorff算子定義為

其中Φ為(0,∞)上的局部可積函數。一維Hausdorff算子已經得到較深入的研究[1-2]。它在Rn中有很自然的兩種推廣，分別為

近年來，高維Hausdorff算子的研究引起了廣泛的關注，得到了很多的研究成果[3-13]。最近，Chen、Fan和Zhang在文獻[10]中定義和推廣了兩類高維多線性Hausdorff算子SΨ和TΦ，其中多線性算子SΨ定義為

其中Ψ(s1,s2,…,sm)在R+×R+×…×R+上局部可積。

當m=2時，

(1)

相應地，也有

當m=2時，

(2)

另外一種算子TΦ定義為：若x∈Rn，對于每一個ui∈Rn有u=(u1,u2,…,um)和

對于局部可積函數F(u1,u2,…,um)，有

令F(u1,u2,…,um)=f1(u1)f2(u2)…fm(um)，則TΦ變成

當m=2時，

(3)

定理1若α=α1+α2,β=β1+β2,λ=λ1+λ2,1≥1/p=1/p1+1/p2,p1,p2≥1和1≥1/q=1/q1+1/q2,q1,q2≥1,ω1=|x|γ,ω2=|x|β，其中-n<β,γ≤0，Ψ為徑向函數，如果

定理2若α=α1+α2,β=β1+β2,λ=λ1+λ2,1≥1/p=1/p1+1/p2,p1,p2≥1和1≥1/q=1/q1+1/q2,q1,q2≥1,ω1=|x|γ,ω2=|x|β，其中-n<β,γ≤0，如果

本文將采用記號AB表示存在不依賴主要變量的常數C使得A≤CB。采用記號A?B表示存在不依賴主要變量的常數c和C，使得cA≤B≤CA。特別指出常數c，C在文中不同的位置，可能取值不同。

1 主要定義

首先，本節介紹一些相關空間的基本定義。

記Bk={x∈Rn:|x|≤2k},Δk=BkBk-1,k∈Z且χk=χΔk為集合Δk的特征函數。

其中，

(4)

當p=∞或q=∞時取通常的極限情形。

(5)

2 主要引理

其次，本節給出需要用到的相關引理。

引理1[10]令ui∈Rn,i=1,2,…,m。對于ui≠0，記

對于函數fi，定義以下徑向函數

則

TΦ(f1,f2,…,fm)(x)=TΦ(g1,g2,…,gm)(x).

此外，

‖gi‖Lpi(ω2)≤‖fi‖Lpi(ω2),i=1,2,…,m.

引理2[11]對于冪權ω(x)=|x|α有下面結論成立：

1)當-n<α≤0時，ω(x)=|x|α∈A1;

2)當0<α<∞時，ω(x)=|x|α∈Ap,其中(n+α)/n

引理3若ω1∈Ap且ω1=|x|γ，則有

3 定理1的證明

由式(1)，通過極坐標分解及變量替換得

由Minkowski不等式及H?lder不等式得

(6)

令

(7)

(8)

：=I.

利用引理3及|s1|?2j,|s2|?2j得

定理1證畢。

4 定理2的證明

(9)

令

(10)

定理2證畢。

5 定理3的證明

由引理1，我們可假設所有的fj是徑向的。則

首先估計‖TΦ(f1,f2,…,fm)χk‖Lq(ω2)。由式(5)，通過極坐標分解得

(11)

令

(12)

(13)

定理3證畢。

[1] LIFLYAND E,MORICZ F.The Hausdorff operator is bounded on the real Hardy space H1(R)[J].Pro Amer Math Soc,2000,128(5): 1391-1396.

[2] LIFLYAND E,MIYACHI A.Boundedness of the Hausdorff operators inHp(0

[3] CHEN J,FAN D,LI J.Hausdorff operators on function spaces[J].Chinese Ann Math Ser B,2012,33(4): 537-556.

[4] AMJAD H,GAO G.Multidimensional Hausdorff operators and commutators on Herz-type spaces[J].Journal of Inequalities and Applications,2013(1):594.

[5] KOMORI Y,SHIRAI S.Weighted Morrey Spaces and a singular integral operator[J].Math Nachr,2009,282(2): 219-231.

[6] FU Z,GGRAFAKOS L,LU S,et al.Sharp bounds for m-linear Hardy and Hilbert operators[J].Houst J Math,2012,38(1): 225-244.

[7] ANDERSEN K F.Boundedness of Hausdorff operators on Lp(Rn),H1(Rn) and BMO(Rn) [J].Acta Sci Math,2003,69(1-2): 409-418.

[8] GAO G,JIA H.Boundedness of commutators of high-dimensional Hausdorff operators[J].J of Funct Spaces and Appl,2012,Volume 2012,Article ID 541205,12 pages,http://dx.doi.org/10.1155/2012/541205.

[9] KUANG J.Generalized Hausdorff operators on weighted Morrey-Herz spaces[J].Acta Mathematica Sinica,Chinese Series,2012,55(5): 895-902.

[10] CHEN J,FAN D,ZHANG C.Multilinear Hausdorff operators and their best constants[J].Acta Math Sin Ser B,2012,28(8): 1521-1530.

[11] GRAFAKOS L.現代傅里葉分析[M].2版.北京: 世界圖書出版公司,2011.

[12] 高貴連,樊云.多線性Hausdorff算子的Sharp估計[J].數學學報(中文版),2015,58(1): 153-160.

[13] 陶雙平,任轉喜.n維Hausdorff交換子的加權估計[J].數學學報(中文版),2014,57(2): 351-364.

(編校 陳志陽)