淺析函數極值的應用

楊秀松

摘 要：函數極值是中學數學研究中的重要內容之一，涉及代數、幾何、數論和組合等諸多數學分支的知識，同時函數極值有著極大的生活應用，無論是在各科的學習中還是日常生活中都有著極大的應用性。因此，現階段對函數極值問題的探討具有十分重要的意義，談談關于函數極值的應用。

關鍵詞：函數極值；應用；概念

一、函數極值的概念

如果函數f（x）在點x0附近有定義，而且對x0附近的所有點，都有f（x）f（x0）），我們就說f（x0）是函數f（x）的一個極大（或極?。┲?，記做y極大值=f（x0）（或y極小值=f（x0）），極大值與極小值統稱為極值.

1.根據定義知，極值點x0是區間[a，b]內部的點，不會是端點a，b.

2.連續函數f（x）在其定義域內的極值點可能不止一個，也可能沒有，函數極大值與極小值沒有必然的聯系.

3.可導函數f（x）在極值點的導數為0，但是導數為0的點不一定是極值點，如果f（x）在x0處連續，在x0兩側的導數異號，那么點x0是函數f（x）的極值點.

二、函數極值的應用

1.求極值

例1.設f（x）=2x3+ax2+bx+1的導數為f′（x），若函數y=f′（x）的圖象關于直線x=-對稱，且f′（1）=0.

（1）求實數a，b的值；

（2）求函數f（x）的極值.

分析：原函數是三次函數，求導后是二次函數，所以根據二次函數的對稱軸容易得出a的數值，再結合f（x）在x=1處的導數值求得b的數值，最后利用求函數極值的方法求出極值.

解：（1）因為f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b.從而

f′（x）=6（x+）2+b-，即y=f′（x）關于直線x=-對稱，由題設知-=-，解得a=3.

又由于f′（1）=0，即6+2a+b=0，解得b=-12

（2）由（1）知f（x）=2x3+3x2-12x+1，

f′（x）=6x2+6x-12=6（x-1）（x+2）.

令f′（x）=0，即6（x-1）（x+2）=0，解得x1=-2，x2=1.

當x∈（-∞，-2）時，f′（x）>0，故f（x）在（-∞，-2）上為增函數；

當x∈（-2，1）時，f′（x）<0，故f（x）在（-2，1）上為減函數；

當x∈（1，+∞）時，f′（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上為增函數；

從而函數f（x）在x1=-2處取得極大值f（-2）=21，在x2=1處取得極小值f（1）=-6.

點評：求函數極值的一般步驟為：①求f′（x）；②令f′（x）=0，解方程；③判斷極值.

2.根據極值求參數

例2.已知函數f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時有極值0，則m= ，n= .

分析：根據題意利用f′（-1）=0與f（-1）=0建立方程組求解.

解：f′（x）=3x2+6mx+n，由題意，

得f′（-1）=3-6m+n=0f（-1）=-1+3m-n+m2=0

解得m=1n=3或m=2n=9，但m=1，n=3時f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，即x=-1不是f（x）的極值點，應舍去，故分別填2，9.

點評：本題的解答充分體現了方程思想的應用，通過已知的極值求得函數解析式中的參數，但要注意對所求值的驗證.

3.考查極值中的函數圖象

例3.設函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1為函數f（x）ex的一個極值點，則下列圖象不可能為y=f（x）的圖象的是（ ）

分析：根據函數圖象特征，對照四個選項逐步解決.

解：設h（x）=f（x）ex，則h′（x）=（2ax+b）ex+（ax2+bx+c）ex=（ax2+2ax+bx+b+c）ex，由x=-1是函數f（x）ex的一個極值點，所以ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0，所以c=a，所以f（x）=ax2+bx+a，若方程ax2+bx+a=0，∴Δ=b2-4ac=b2-4a2，當Δ=0時，b=±2a，即對稱軸所在直線方程為x=±1，所以A、B正確；又設方程兩根為x1、x2，則x1·x2==1，顯然D不滿足這一條件.所以選D.

點評：本題考查函數的極值與導數的關系以及二次函數圖象的識別，難度較大，需要綜合各方面的知識求解.

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