題根教學模式在高三數學復習課中的有效應用

谷葉芬

摘要：高三數學復習課主要以例題教學為主要方式，怎樣的例題教學更有效呢，本文通過對一節公開課的教學片斷來描述題根教學模式在高三數學復習課中的有效應用。

關鍵詞：高三；復習課；題根

題根不是一個概念、不是結論，而是一個問題。它是一個題族的根祖，一個題系中的根基，一個題群中的代表。高三階段，需要大量的習題來鞏固和加深對教學知識點的理解和應用。題根教學模式有利于學生有效的將高中數學知識點進行系統化、理論化的歸類；有利于學生對零散的高中數學內容進行有效的加工處理，使其更加具有規律化；有利于學生對同一類型的題目進行模式化。在高三的復習中我嘗試用題根教學的模式嘗試解決高三數學復習課選題難、編題難、講題難的問題。

一、題根教學模式有利于固基礎

很多老師在選題的時候會選擇自己擅長的而非學生需要的或者是比較難的，學生需要花費很長的時間和精力來解決的。這樣選題不僅達不到例題應有的效果，更浪費學生的有限的時間和體力。題目選擇的過于簡單或者過于難都無法達到好的復習效果，題根教學模式有利于幫助我們從浩瀚無邊的題海中選擇師生都需要的題。

2016年10月25日有幸在市綠耕送培活動中上了一節題為《一類錐體的體積探究》的公開課。在這節公開課中，我以題根教學模式在課堂中利用1道例題及其變式完成了錐體的體積復習。以下是我本節課的第1個教學片斷：

例1、已知三棱錐S-ABC，△ABC是邊長為1的正三角形，SA⊥AC，SB⊥BC，且SC=2，則此棱錐的體積為（ ）

生1：定義法（圖1）：做平面ABC的垂線SD，則V=

生2：分割法（圖2）：取AB的中點E，則由SA=SB，CA=CB，知AB 平面SEC，故V=

生3：分割法（圖3）：過A做 ，連接BF，，由 ， ，故V=

師生總結：三棱錐的體積問題，本質是尋找錐體中的垂直關系，三棱錐S-ABC是含有兩個全等面的三棱錐，而兩個面全等，另外兩個面一定為等腰，所以我們可以尋找AB的中點E，或者SC邊的垂足來尋找線與面的垂直關系。

題根的選擇應該幫助學生夯實基礎，在教學片斷1中，我選擇的題根為一個常規的求錐體體積問題，這是一個常見的問題，切入點低，解題方法有定義法，分割法，補形法，以及作為一道選擇題可以用放縮法。在本節課中學生共用了6種方法解決。實際上解決此題的方法至少有8種。如此基礎而靈活的題根既幫助學生完成了對基礎知識的回顧，豐富了解題方法，開拓了解題思路，也讓學生升級了自己的解題技能。更重要的是固化了學生的學科基礎，每一種方法的獲得都是學生對學科知識體系的再鞏固，再整理。

二、題根教學模式有利于活變式

變式教學是高三數學習題課的主要教學模式。任何一道題只要進行數據的改編，就是會不一樣。但僅僅只是數據的變化，學生在變式的解題的過程中只是機械模式的訓練。好的變式是對例題的鞏固和升華，是對學生思維的開拓。題根教學模式有利于我們對變式進行靈活處理。以下是我的第2個教學片斷：

變式：已知三棱錐S-ABC，AC=BC=1，SA⊥AC，SB⊥BC，且SC=2，則此棱錐的體積的最大值為____________

生4：由例1知，V= ，要計算體積的最大值，只需要計算 面積的最大值，設AB=x，則 = ，當x= 時，此三角形的面積最大，此三棱錐體積的最大值為

生5： = ，當 = 時，三角形面積最大，三棱錐的體積有最大值

師生總結：此題中，我們可以選擇以AB的邊長作為變量，也可以選擇 為變量。事實上，當SAC固定之后，SBC可以看成是SAC繞著SC旋轉所得到的面，而在旋轉的過程中，二面角A-SC-B的平面角即為 ，顯然當 = 時，體積最大。

所謂題根，它只是一個根本，想要學生在課堂中收獲更多，我們要從題根做出探究的起點，引發更高一級的問題的產生。著名數學家希爾伯特說：數學寶藏是無窮無盡的，一個問題一旦解決，無數尋的問題就會代之而起。教學片斷2中的變式是例1條件的弱化，引入一個變量。通過這個變量對兩個全等面的這一類題型的動態鞏固，它是一道本身帶著光芒的變式。

三、題根教學模式有利于破難題

高三復習課肯定要用歷年的優質真題，而把真題光禿禿地放在學生眼前，學生肯定是沒有辦法一下子接受并解決的。所以對真題做一個合理的鋪墊尤為重要。在課堂中把真題作為一個跳一下就能摘到的蘋果，送給學生當禮物，必然可以讓學生獲得解題的成就感和滿足感。題根教學模式有利于我們在課堂中將難題突破。以下是我的第3個教學片斷：

2016.浙理14：已知三棱錐S-ABC，AB=BC=2，∠ABC=120°.D為AC上一點且滿足SD=DA，SB=BA，則四面體SBCD的體積的最大值是________

師生共同分析：由題意知 ，則由以上的變式只，當面ABD 面SBD時，四面體SABD的體積最大，此時四面體SBCD的體積的也為最大。過S作BD的垂線垂足記為H，則SH 平面BDC，

又因為 ，SH=AH，

故VSBCD= =

所以問題就轉化為求AH。以下的解題學生就可以利用平面知識快速解決。

這道題是今年高考的一大難點，很多學生連蒙帶猜得到了正確答案，但是并不知道它是如何通過嚴密的數學推理和精確的數學運算得到的。有以上的兩個教學片斷作為鋪墊，這個題的解決也變得水到渠成。每一位靠自己的智慧解決問題的學生都會從中得到解題的成就感，并會因為愛上數學，愛上數學解題。

在整個教學過程中：教學片斷1，選擇了2012年全國高考第11作為題根，利用此題與學生一起復習空間幾何體體積的求法。并歸納此三棱錐的特征——含兩個全等面；教學片斷2：一個變式，把一個靜的幾何體，轉變為一個旋轉的幾何體，由此分析在旋轉的過程中它保持基本量不變也就是一定會有兩個全等面。旋轉面與固定面垂直時幾何體的體積最大。有了這個變式，教學片斷3就水到渠成，學生很容易發現2016年浙江省高考理科第14題一個翻折問題，而不管是旋轉還是翻折都有兩個面是全等的，所以它也是一個全等面的錐體問題。

整節課解決了含有兩個全等面的錐體的體積及其最值問題。而其根本就探討此類錐體的垂直關系。而2016年10月的學考第18題（如圖，在四面體ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，點E、F、G、H分別在棱AD、BD、BC、AC上.若直線AB、CD都平行與平面EFGH，則四邊形EFGH面積的最大值為___）也正是此類問題的一個側枝。當我們找到了“根”，所有的側枝都是根的衍生物。例如本文中的三個教學片斷，以例1為題根，變式和2016年浙江理科14題及2016年浙江10月學科18題都是例1的側枝：當然這樣的側枝還有很多，只要我們平時注意整理，以例1為題根的這棵樹就會越來越茁壯。而根系的發展除了題目間的相互聯系之外，也有方法上的一脈相承，使得在復習的過程中學生能夠舉一反三。

題根是學生學習數學知識的一把鑰匙，好的題根可以促進對原有知識的溝通聯系，調整學生頭腦中原有知識的邏輯關系，借以開闊學生的解題思路，促進思維的多向發展。有人說：我走過最多的路，就是數學的套路。而所有數學套路的取得離不開對基礎知識的扎實掌握，離不開對每一個題根的深入探究。只要我們做一個教學的有心人，從某一個問題出發找出題根，由一個及一類進行教學，那么高三的復習課肯定會變得更加有內容，更加系統，更加有效。

參考文獻：

[1]許世紅.數學試卷分析方法[M] 華東師范大學出版社，2009.

[2]黃坪，尹德好.高中數學題根[M]華東師范大學出版社，2010.endprint