高中生物學教學中數學模型的構建與應用

程煒月

《普通高中生物課程標準（2018版）》將“模型”知識列為課程目標。模型方法實施的研究不僅符合新課程標準的要求，也是學生構建科學思維的必要一環。中學生物學教學將模型方法應用于課堂教學之中，以提高學生的科學素養和科學探究能力。其中構建數學模型作為發現科學事實，揭示科學規律的過程和方法，在生物學教學中有著十分重要的意義。構建數學模型有助于學生系統地、完整地學習和理解新知識，同時有助于學生運用數學工具解決一些復雜的問題，還可以習得獲取知識的方法，提高解決問題的能力。

1高中生物教學中構建數學模型的方法和步驟（以細菌種群數量的增長為例）

第一步：模型準備。要構建一個數學模型，首先要了解事件內在的運行規律，明確建模的目的，并搜集必需的各種資料，盡量弄清楚對象的數學特征。例如，在條件適宜時細菌種群數量的變化數學模型的構建中，研究對象是“細菌”，其特征是“進行二分裂，每20min分裂一次”，建模的目的是探究細菌種群數量與時間的函數關系，進一步解釋生物現象，揭示生命活動規律。

第二步：模型假設。提出合理的假設是數學模型成立的前提條件，假設不同，所建立的數學模型也不相同。此建模中提到的假設是“在資源和空間無限的環境中，細菌種群的增長不會受到種群密度增加的影響”，即在“理想”的環境中，此環境一般指的是“資源和空間充足，氣候適宜，沒有天敵，沒有疾病等”。

第三步：模型建構。根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量的數量關系。由細菌的二分裂特征，1個細菌分裂一次得到2個細菌，2個細菌第二次分裂得到4個細菌……通過歸納法，得出細菌增殖的特點滿足指數函數的形式進行增長，因此用數學形式表達為N_n=2ⁿ，其中Ⅳ代表細菌數量，n代表分裂次數。

第四步：對模型進行檢驗和修正。在理想狀態下細菌種群數量增長的數學模型是比較簡單的，而生物學中大量現象與規律是極為復雜的，存在著許多不確定因素和例外的現象，需要通過大量實驗或觀察，對模型進行檢驗和修正。模型的構建是一個不斷發展和完善的過程。

描述一個系統或性質，具體形式有圖形、數據表、方程、不等式、函數等。根據數學模型的選定目的，做出簡化和假設，可以解釋特定對象的現象，預測特定對象的未來狀態，是對現實對象的信息加以分析處理的結果。

2應用實例

2.1構建數學模型解決基因頻率難題

[例1]A為抗病基因，a為不抗病基因，請回答下列問題：

（1）雜合子Aa連續自交，F_n中AA：Aa：aa比例是多少？

（2）雜合子Aa連續自交，在逐代淘汰隱性個體的情況下，Pⁿ中AA：Aa比例是多少？

f3）雜合子Aa連續自交，在逐代淘汰隱性個體的情況下，第N次自交中會出現在F_n中AA：Aa：aa比例是多少（即第N代沒有淘汰aa）？

2.1.1根據題（1）構建數學模型

為了解決題（1），可以建立親代Aa自交后各代的占比數學模型（表1）。

根據以上N代自交后代數學模型的規律性變化，可以直接得到題（1）的答案：

AA：Aa：aa=（1-1/2ⁿ），2：1/2ⁿ：（1-1/2ⁿ）/2，2=（2ⁿ-1）：2：（2ⁿ-1）

2.1.2根據題（2）構建數學模型

題（2）的常規思路數學模型如圖1所示。

相對來說，題（2）的常規數學模型是一個繁瑣的構建過程，但如果把題（1）的數學模型稍加變通，會更簡便地解決題（2）：假設逐代淘汰的aa另外集中于實驗室，以備科學實驗，這樣每代都不會影響AA：Aa的比例，因此可直接根據題（1）的數學模型得到答案，即AA：Aa=（1-1/2ⁿ）/2：1/2ⁿ=（2ⁿ-1）：2。

2.1.3根據題（3）構建數學模型

Aa自交后的每一代都會出現這樣的數學模型，即AA：Aa：aa=1：2：1。最后一代也是如此，從而F_n中AA的總數仍為（2ⁿ-1）。因此第N次自交后，F_n中AA：Aa：aa=（2ⁿ-1）：2：1。

在解析題（2）、（3）時應用題（1）的數學模型，并做了一定的修正，比重建兩個新的數學模型更加便捷。學生在理解遺傳學知識的同時，感受到數學建模解決難題的樂趣，有利于訓練嚴謹理性的思維，有利于在今后的學習中用科學思維解決實際難題。

2.2構建數學模型解決雜交實驗難題

[例2]家蠶結黃繭和白繭由一對等位基金Y.y控制，并受另一對等位基因I、i影響。當某基因I存在時，基因Y的作用不能顯示出來。現有下列兩組雜交實驗（圖2），請回答下列問題：

（1）基因Y與基因I在染色體上的位置關系是____。

（2）若實驗一的F2中結黃繭個體自由交配，后代中純合子所占比例為（用分數表示）____。

（3）現有一類型家蠶與實驗一的F。基因型相同，將該類型家蠶與實驗一的F2中結白繭雜合子雜交，理論上后代結白繭家蠶中純合子所占比例為（用分數表示）____。

（4）請分析實驗二雜交實驗圖解，寫出兩親本個體可能的基因型組合：____。

2.2.1根據題（1）構建數學模型

分析實驗一可得：F₁白繭自由交配得到的F2中白繭：黃繭為13：3，則應該為兩對非同源染色體上的非等位基因自由組合的性狀分離比9：3：3：1的變形。根據F：性狀分離比可以推出各代的基因型（圖2）。

因此題（1）中基因Y與基因I在染色體上的位置關系是位于非同源染色體上。

2.2.2根據題（2）構建數學模型

根據題（2），把黃繭（YYii、Yyii）的蠶蛾作為一個新種群2，建立如下的數學模型，單獨討論Yy這對等位基因：Y的基因頻率P為2/3，y的基因頻率q為1/3，根據遺傳平衡定律子代基因型頻率為：YY=p²=4/9；Yy=2pq=419；yy=q²=1/9，且所有子代都是iiii。所以子代基因型及比例為：YYii=4/9（黃繭純合）；Yyii=4/9（黃繭雜合）；yyii=1/9（白繭純合）。故實驗一F₂結黃繭個體自由交配，后代中純合子所占比例為5/9。

2.2.3根據題（3）構建數學模型

根據題（3）把白繭雜合子（設為親本1）作為一個新種群3，與F₁相同基因型YyIi（設為親本2）雜交，建立如下數學模型：

親本1中各白繭雜合子的基因型及比例為：2YyII；2yyTi；4YyIi；2YYIi，則新種群3中Y：y=1：1；I：i=3：2。當親本1與親本2雜交時，兩對相對性狀分別用配子概率計算，則后代基因型頻率為：YY：2Yy：vv（1：2：1）；II：Ii：ii（3：5：2）。因此后代黃繭與白繭的比例為6：34，其中白繭純合組合為：3YYII；yyII；2yyii，因此白繭純合/白繭=（3+3+2）/34=4/17。

所以，F₂中結白繭雜合子與F₁基因型相同的個體雜交，理論上后代結白繭家蠶中純合子所占比例為4/17。

分析實驗二雜交實驗圖解，兩親本個體可能的基因型組合：IiYy×iiyy或IiYY×IiYy或IiYY×IiYY。其中特別值得注意的是容易漏掉的測交類型IiYy×iiyy。

通過數學模型的構建，有利于學生透過現象，排除非本質因素的干擾，舍棄次要因素和無關因素，突出反映事物的本質特征，從而使生命現象或過程得到簡化、純化和理性化，提高解決實際問題的能力。