單調有界定理和壓縮映射定理在求解遞推數(shù)列極限中的應用

摘 要：本文總結了求解遞推數(shù)列極限的兩個方法——單調有界定理和壓縮映射定理，并比較了這兩個方法在解題過程中的優(yōu)劣。

關鍵詞：遞推數(shù)列：單調有界定理；壓縮映射定理

單調有界定理是判斷極限存在的一個重要方法，在“高等數(shù)學”的教學過程中用單調有界定理證明數(shù)列極限存在是一個重點和難點。

設x1給定，通過遞推公式xn+1=f（xn）（n=1，2，3，…）定義的數(shù)列{xn}稱為遞推數(shù)列。證明{xn}收斂，并求它的極限是高等數(shù)學課上的一個重要內容。在教學過程中我們發(fā)現(xiàn)有相當一部分學生對于這個掌握起來有困難。解決這類問題的方法是單調有界定理和壓縮映射定理。

在課堂教學中，我們首先給學生總結下面這個結論，這個結論的前兩點是數(shù)列{xn}的有界性結論，后兩點是單調性結論。這個結論很有意思，遞推數(shù)列{xn}的首項取值決定了后面所有項的取值，如果首項比x0大，后面所有項都比x0大；首項比x0小，后面所有項都比x0小；首項等于x0，所有項都等于x0；數(shù)列{xn}一定單調，增還是減由前兩項取值決定。

參考文獻：

[1]謝惠民，惲自求，易法愧，等.數(shù)學分析習題課講義：上冊[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]孫洪祥，王曉紅.高等數(shù)學難題解題方法選講[M].北京：機械工業(yè)出版社，2003.

作者簡介：吳楠，北京市，中國礦業(yè)大學（北京）理學院。endprint