隨機振動螺栓松動數值仿真分析

朱光宇，鄭保仲

（福州大學 機械工程及自動化學院，福建 福州 350002）

1 引言

在機械設計中，由于很多零件都處于隨機振動載荷工況下，伴隨著隨機振動失效預測及有效控制是結構設計中的關鍵，而隨機振動外載荷不像其他載荷可以用確定的函數表達，但人們對隨機振動的研究步伐從未停歇。人們把統計學、通訊噪聲及湍流理論移植到機械結構隨機振動中去研究。

FPK方程法[1]，隨機平均法[2]，隨機等效線性法，柔性結構隨機等效線性法均是研究單自由度非線性隨機振動常用的方法。其中由林家浩提出的虛擬激勵法[3]將平穩的隨機振動轉變為簡諧振動，大大提升運算速度及效率，而Pradiwarter和Harnpornchai采用MonteCarlo法[4]對結構進行非線性隨機振動分析，但該方法求解精度是以犧牲計算時間為代價，故對大規模多自由度系統該方法不能適用，文獻[5]最早提出等效線性化方法在實際工程中應用較為普遍。隨著計算機硬件資源高速發展以及模擬仿真軟件的不斷升級換代，運用有限元法數值模擬非線性系統在時域中的隨機振動。其原理是通過給定的隨機振動加速度功率譜密度采用文獻[6]轉化為隨機振動的時域信號供大型顯示有限元軟件計算。螺栓聯接是一種結構設計中普遍存在的緊固方式，而螺栓聯接在隨機振動作用下軸向力跳躍關系著聯接的失效與否，故對隨機振動環境下的螺栓聯接可靠性提出更高的要求。實際以某款電動車車載充電機為主體，充電機用四個螺栓與車架相連，載荷的來源主要是通過車架傳來的路面不平度激勵，考查連接充電機螺栓預緊力變化情況及螺栓等級選擇。運用SineOnRandom法生成振動信號時域樣本，采用顯示非線性求解施加預緊力螺栓軸向力響應情況。

2 隨機振動信號轉化原理

統計信號有兩種方法：一種是將信號采集成時域函數，另一種是將采集的信號通過傅里葉轉換成頻率函數。時間函數是真實世界中唯一存在的，同時產品的安全性最終也是在時域中檢測的。頻域不是真實存在的，它是一種數學構造，遵循特定的數學范疇，同時正弦波的頻域，且時域中的任何波形都可以用正弦波疊加，這是正弦波一個十分重要的性質。根據信號等效原理，轉化前后信號的統計學特性是一致的。依據隨機振動數學函數關系，功率譜密度表達式[7-8]：

式中：f—振動頻率；R（τ）是互相關函數，對于一個正弦位移信號：

可見正弦波的功率譜密度是一沖擊常數，其值與φ無關，在頻域中每個頻率點都有本身的幅值與相位。按諧波的頻率、幅值、相位等信息可以求得諧波所對應時域的波形，最后將各諧波的時域疊加起來，即轉化成時域中的信號波。將所要轉換的功率譜密度函數所對應的頻率區域（fstart，fend）劃分為n個區間，用第i個區間的中點頻率fmid，i的功率譜密度來替代該區間的功率譜密度大小，所以第i個區間上的功率譜密度：

式中：Gq（，）—位移密度譜；Δfi—頻率間隔

因此，當隨機振動過程采用正弦信號疊加法模擬隨機過程的表達式為：

SineOnRandom法合成隨機振動時域信號適用于模擬具有任意形狀的譜密度的平穩隨機過程，而且所得到結果的樣本是連續的。值得注意的是，等效信號的時間樣本大小應根據標準正態分布均值方差均方值等一致的前提下盡量縮短計算時間。

3 顯式計算中心差分法

用世界上著名的通用顯式動力分析有限元軟件LSDYNA[9-10]，該求解程序特別適合求解沖擊碰撞仿真，特別是在高應變率數值計算中優勢明顯。LSDYNA顯示動力分析采用中心差分法，第n個時間步結束時刻的加速度由速度的一階中心差分給出，速度由位移的一階中心差分給出向量通過下式表達：

顯式算法的特點是：（1）不形成總體剛度矩陣，彈性項放在內力中，避免了剛度矩陣的求逆，大大減小了求解程序對計算資源的占用，特別是對于非線性分析非常有益，避免在分析步中由于每個增量步都會帶來剛度矩陣的變化重新計算帶來的代價。（2）質量陣為對角時，利用中心差分法計算運動方程時不需要進行質量矩陣的求逆運算，僅僅利用矩陣的乘法得到等效載荷，計算效率很高。（3）中心差分法是條件穩定算法，保持穩定狀態需要相對較小的時間步長，因此在計算模型設定時需減小初始時間增量步保證計算穩定。

4 數值模擬隨機信號獲取

數值模擬采用新國標GB/T 31467.3-2015，規定的振動功率譜密度要求，如圖1和表1所示。由于表的頻譜數據是根據實際路譜采集信號經過信號處理后再由FFT變化得到的原始功率譜密度，但該功率譜密度是頻域范圍內的，不能用于時域的非線性系統計算，因此在信號處理軟件中采用SineOnRandom方法產生隨機振動時域信號波。信號的失真度由采樣頻率，計算時間控制，前提是保證產生的時域信號加速度均方值與原始數據相差不大，通過不同組合得到的樣本，如表2所示。通過表數據規律分析可知，運用SineOnRandom方法獲取的時間樣本由于采樣頻率及樣本大小不同會產生不一樣的模擬時域信號，且信號的加速度峰值存在著這樣一條規律：樣本越小，則采樣頻率越高才不會使信號失真過多，反之則采樣頻率相對下降才會使加速度峰值靠近原始值。考慮到計算效率及樣本失真度，采用時間樣本為1s，采樣頻率為4500Hz進行樣本抽取。但遵循的原則是樣本信號經過傅立葉變換與原始功率譜密度進行比對，失真度不能過高，在保證要求的前提下盡量的縮短計算時間，否則會給后續的有限元計算帶來沉重的負擔。

圖1 加速度PSD和頻率對應關系Fig.1 Acceleration PSD and Frequency Correspondence

表1 PSD值和頻率Tab.1 PSD Value and Frequency

表2 時間和加速度峰值Tab.2 Time and Peak of Acceleration

圖2 原始與模擬功率譜密度比對Fig.2 Comparison of Original and Simulation Power Spectral Density

如圖2所示，模擬功率譜與原始功率譜在隨機振動所關注的低頻段誤差在可接受范圍內，這樣保證了信號轉換前后的一致性，即失真度達到要求的情況下可以等效的認為轉換后的時域信號可以替代隨機振動的功率譜密度信號。在隨后的非線性有限元計算中作為載荷輸入條件，通過計算時間軸函數來表達各個要求物理量的時域響應特性。

5 隨機振動數值仿真實際案例應用

仿真建模思路參照實際裝車中充電機的裝配關系，截取與之相關的幾何零部件離散成有限元網格集合，由于仿真中不考慮焊接關系對結構剛度影響，故對焊接關系采用剛性連接替代建立整個系統的仿真模型，其中所有參與振動的部件全部加入接觸考慮接觸非線性及幾何非線性和材料非線性，并且對緊固充電機的四顆螺栓采用beam單元模擬實際的螺栓連接，beam單元與聯接的兩個零部件采用剛性耦合，通過對beam單元施加預緊力模擬實際裝車條件下的預擰緊力矩，通過beam單元在振動時域信號下的軸向力響應輸出來判斷螺栓是否會發生松動模型，如圖3所示。

圖3 數值計算模型Fig.3 Numerical Compute Model

模擬仿真主要考查車載充電機緊固螺栓振動強度，故對非關注區域的有限元離散不做詳細要求，由于充電機內部電子元件復雜導致建模費時費力又不是計算關注點，故對充電機內部進行簡化，采用配重的方式保證充電機質量及慣量一致即可。另外整個模型網格大小為5mm，激勵源為與車架連接處，約束激勵處的5個自由度，放開Z方向的平動自由度。通過不同組合仿真計算結果，如表3所示。

表3 不同仿真工況結果Tab.3 Different Simulation Condition Result

由表3可以得出，不同的螺栓組合由于不同的初始預緊力及結構不對稱導致不同的振動后力量減小比率。且根據數據規律發現，螺栓等級強度越高，由于初始預緊力很大導致力量掉落比較厲害。通過仿真發現高強度螺栓在振動一開始預緊力就掉落厲害，且由于預緊力增大結構不對稱導致螺栓上力量分布差距更加明顯，故振動后力量減小厲害。

6 實驗驗證

該實驗由振動臺、夾具、試件等組成。分別采用M4，M6，M8不同強度等級的螺栓依規定的初始擰緊力矩把充電機鎖附在振動臺面上，如圖4所示。實驗參照GB/T2423.56執行隨機振動，進行8h的振動后測試充電機上螺栓殘余預緊力大小并與仿真比對結果，如表4所示。

圖4 振動試驗Fig.4 Vibration Test

表4 振動前后對照表Tab.4 Collation of Vibration Test

由表4可以得知，試驗過后螺栓預緊力減小相對于仿真計算更厲害，但在誤差控制在合理范圍內說明仿真計算結果還是可以接受。而且通過實驗也可以說明實際振動過程中螺栓預緊力跳動更大，后續在數值仿真中須對時間樣本容量及采樣頻率作進一步的研究以取得更為精確的樣本信號以提升仿真計算精度。

7 結論

（1）采用SineOnRandom法把隨機振動信號由頻域轉換成時域，從而使得隨機振動在顯示非線性計算中實現復雜的接觸行為及性能參數響應。（2）通過SineOnRandom法獲取時間樣本容量須根據計算機性能謹慎選擇，但基本原則是時間樣本容量在統計學上的均值，方差及均方值與原始信號一致的前提下適當獲取。（3）通過仿真很好地驗證了實際設計中不同等級強度的螺栓在隨機振動過程中的強度原則。

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