塔式起重機(jī)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型研究

楊 悅，曹旭陽(yáng)，高順德

（大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

1 引言

塔式起重機(jī)系統(tǒng)是典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，而且重物的非線性運(yùn)動(dòng)又和臂架、塔身等具有大長(zhǎng)細(xì)比的柔性構(gòu)件的變形相互影響，增加了研究其動(dòng)力學(xué)模型的難度。研究塔式起重機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)指導(dǎo)其結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和提高安全性能具有重要意義，隨著塔式起重機(jī)小車運(yùn)行速度的提升和對(duì)重物移動(dòng)位置精確性要求的提高，對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究的需求更加迫切。目前對(duì)塔式起重機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性研究主要將系統(tǒng)等效為多剛體系統(tǒng)，集中于重物擺動(dòng)特性以及消擺控制方法的研究[1-4]，而綜合考慮塔式起重機(jī)結(jié)構(gòu)特性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的研究較少。文獻(xiàn)[5]綜合考慮了塔式起重機(jī)系統(tǒng)的剛度、阻尼、摩擦和空氣阻尼等因素，將系統(tǒng)等效成了集中質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，建立了數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，研究了回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)載荷對(duì)系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[6]結(jié)合有限元方法和剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，研究了重物的擺動(dòng)和系統(tǒng)的柔性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[7]將塔式起重機(jī)等效為中心剛體-柔性臂模型，并用線性彈簧考慮拉桿對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，應(yīng)用Hamilton原理推導(dǎo)了描述系統(tǒng)回轉(zhuǎn)和變幅運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)控制方程。文獻(xiàn)[8]將塔式起重機(jī)等效為平面柔性多體系統(tǒng)，綜合考慮了臂架、塔身、平衡臂的柔性，僅針對(duì)回轉(zhuǎn)制動(dòng)工況進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。

綜上，隨著理論與技術(shù)的不斷發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)塔式起重機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性研究越來(lái)越深入，但目前建立的動(dòng)力學(xué)模型仍存在結(jié)構(gòu)或運(yùn)動(dòng)描述不全面等問(wèn)題，同時(shí)對(duì)理論模型的合理性的探討也比較少見(jiàn)。基于此，重點(diǎn)研究在塔式起重機(jī)臂架的柔性變形和系統(tǒng)非線性運(yùn)動(dòng)的綜合影響下，將臂架等效為Euler-Bernoulli梁并考慮臂架的自重和結(jié)構(gòu)阻尼，應(yīng)用拉格朗日方程和假設(shè)模態(tài)法建立完整描述塔式起重機(jī)變幅、回轉(zhuǎn)和起升運(yùn)動(dòng)的離散化動(dòng)力學(xué)方程。然后應(yīng)用Maple數(shù)學(xué)軟件對(duì)方程進(jìn)行數(shù)值求解并與動(dòng)力學(xué)仿真的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

2.1 變量定義

文獻(xiàn)[7]主要考慮臂架的柔性和拉桿的影響，忽略塔身、平衡臂等結(jié)構(gòu)的柔性，并且不考慮鋼絲繩長(zhǎng)的變化，建立的塔式起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。柔性臂架等效為Euler-Bernoulli梁，在水平面內(nèi)回轉(zhuǎn)。以臂架回轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)，臂架的中線方向?yàn)閄1軸建立固定坐標(biāo)系O1X1Y1，作為系統(tǒng)輸出參數(shù)的參照。O2X2Y2和O3X3Y3分別為固結(jié)在臂架根部和小車中心的浮動(dòng)坐標(biāo)系，用以定義臂架的變形和作大范圍剛體運(yùn)動(dòng)的參數(shù)。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，其縱向伸縮變形相對(duì)于豎直平面內(nèi)的彎曲變形要小很多；且塔式起重機(jī)臂架水平面內(nèi)的彎曲變形主要由慣性力引起，其相對(duì)于豎直平面內(nèi)的彎曲變形也可忽略不計(jì)，故僅考慮臂架豎直平面內(nèi)的彎曲變形，設(shè)其為w（x，t）。假設(shè)臂架初始時(shí)刻中線和X1軸重合，由靜止開(kāi)始進(jìn)行回轉(zhuǎn)、變幅、起升運(yùn)動(dòng)。忽略臂架變形對(duì)小車相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響，即假設(shè)小車始終沿著X2軸運(yùn)動(dòng)，在任意時(shí)刻t，描述系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為：小車相對(duì)于臂架根部的位移s（t），臂架相對(duì)于X1軸的回轉(zhuǎn)角度α（t）；鋼絲繩相對(duì)于小車中心的長(zhǎng)度l（t），重物在Z3Y3平面內(nèi)的擺角和偏離平面的平面外擺角分別為 β（t）、γ（t）；臂架在Z3X3平面內(nèi)橫向彎曲變形w（x，t）。為便于公式推導(dǎo)，上述廣義坐標(biāo)中，前3個(gè)廣義坐標(biāo)描述塔式起重機(jī)大范圍剛體運(yùn)動(dòng)，將其作為系統(tǒng)輸入量，記為向量 p=［x1，x2，x3］T；后 3個(gè)廣義坐標(biāo)為描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的輸出量，記為向量q=［x4，x5，x6（x，t）］T。xi（i=1，2…6）是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，記其關(guān)于時(shí)間的一階、二階導(dǎo)數(shù)分別為yi（i=1，2…6）、zi（i=1，2…6）。

2.2 構(gòu)件坐標(biāo)

臂架中線上任一點(diǎn)P1在浮動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2下的坐標(biāo)用向量表示為：R1=［x 0 x6（x，t）］T（1）

小車在臂架上運(yùn)動(dòng)，小車位置P2在浮動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2下的坐標(biāo)為：

重物位置P3在浮動(dòng)坐標(biāo)系O3X3Y3下坐標(biāo)為：

設(shè)浮動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2向慣性坐標(biāo)系O1X1Y1轉(zhuǎn)化的反對(duì)稱

經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，Pi（i=1，2，3）在慣性坐標(biāo)系O1X1Y1的坐標(biāo)用ri（i=1，2，3）表示為：

圖1 塔式起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型示意圖Fig.1 Dynamic Model of a Tower Crane

2.3 構(gòu)件速度將式（5）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得各構(gòu)件速度為：

R˙i（i=1，2，3），Ri（i=1，2，3）表示對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)：

3 動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)及其離散

3.1 方程推導(dǎo)

使用拉格朗日方程來(lái)建立系統(tǒng)大范圍運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知的動(dòng)力學(xué)方程[9]，向量形式的拉格朗日方程的基本形式為：

式中：T—系統(tǒng)動(dòng)能；V—系統(tǒng)勢(shì)能；q—系統(tǒng)廣義坐標(biāo)向量；F—廣

義力向量。對(duì)應(yīng)于，上式的廣義坐標(biāo)向量為q=［x4x5x6］T，

F=0。系統(tǒng)的動(dòng)能：

式中：等號(hào)右邊第一項(xiàng)為臂架的動(dòng)能，第二、三項(xiàng)分別為小車和重物

的動(dòng)能；ρ1—臂架的等效線密度；L1—臂架的長(zhǎng)度；m1、m2—小車和重物的質(zhì)量。將式（6）代入上式便可得到系統(tǒng)的動(dòng)能。

3.2 方程離散

采用假設(shè)模態(tài)法，將臂架任意點(diǎn)的橫向彎曲變形表示為：

經(jīng)過(guò)整理便可得到系統(tǒng)離散后矩陣形式的動(dòng)力學(xué)方程：

式中：M、K—（2+n）×（2+n）維矩陣，分別是離散系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣；Q、G、Mi—（2+n）維列向量；Q—離散系統(tǒng)的輸出廣義坐標(biāo)向量；Q¨—其對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)；G—包括離心力、科式力和重力在內(nèi)的廣義力向量；Mi—與輸入廣義坐標(biāo)相關(guān)的廣義質(zhì)量向量。具體表達(dá)式為：

3.3 考慮結(jié)構(gòu)阻尼的離散方程

式中：C—（2+n）×（2+n）維矩陣，為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼矩陣；

Q˙—Q對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，具體為：

考慮柔性梁的結(jié)構(gòu)阻尼時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)椋?/p>

組合系數(shù)α和β計(jì)算公式為：

式中：ωi、ξi（i=1，2）—柔性梁的第一、第二階振動(dòng)頻率和相應(yīng)的阻尼比。

選取固定邊界懸臂梁的模態(tài)函數(shù)，其元素為：

對(duì)應(yīng)固定邊界懸臂梁，其橫向彎曲振動(dòng)的固有頻率計(jì)算式：

將式（21）～式（25）代入式（20）便可得到考慮結(jié)構(gòu)阻尼的系統(tǒng)的離散動(dòng)力學(xué)方程。

4 數(shù)值計(jì)算與動(dòng)力學(xué)仿真

4.1 計(jì)算參數(shù)和仿真模型

上節(jié)推導(dǎo)得到了系統(tǒng)的離散動(dòng)力學(xué)方程，首先使用Maple數(shù)學(xué)軟件截取柔性梁的前二階模態(tài)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，然后與使用ADAMS進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。塔式起重機(jī)的系統(tǒng)參數(shù)，如表1所示。建立的塔式起重機(jī)ADAMS簡(jiǎn)化仿真動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。模型中塔帽、臂架為柔性體，其余都為剛性體。

表1 系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 System Parameters

圖2 塔式起重機(jī)ADAMS動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 ADAMS Simulation Model

數(shù)值計(jì)算和動(dòng)力學(xué)仿真針對(duì)文獻(xiàn)[10]中塔式起重機(jī)三種典型的運(yùn)動(dòng)形式，初始條件為小車距回轉(zhuǎn)中心60m，鋼絲繩長(zhǎng)度為20m。第一種形式臂架進(jìn)行先勻加速后勻速最后再勻減速的變幅運(yùn)動(dòng)，加速時(shí)間為0.5s，勻速運(yùn)動(dòng)10s，減速時(shí)間為0.5s，勻速運(yùn)動(dòng)速度為0.9m/s。第二種形式，臂架同時(shí)進(jìn)行變幅和起升運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為10.5s，且都為先勻加速運(yùn)動(dòng)再勻速運(yùn)動(dòng)，變幅加速時(shí)間0.5s，勻速運(yùn)動(dòng)速度0.9m/s，起升加速時(shí)間2.57s，勻速運(yùn)動(dòng)速度1.333m/s。第三種形式臂架進(jìn)行先勻加速后勻速最后再勻減速的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，加速時(shí)間為13.67s，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為10s，減速運(yùn)動(dòng)3.6s，勻速運(yùn)動(dòng)角速度為3.78°/s。各運(yùn)動(dòng)速度函數(shù)，如圖3所示。

圖3 變幅、回轉(zhuǎn)和起升運(yùn)動(dòng)速度函數(shù)Fig.3 Velocities of Luffing，Rotating and Lifting Motion Respectively

4.2 僅變幅運(yùn)動(dòng)時(shí)結(jié)果對(duì)比

僅變幅運(yùn)動(dòng)時(shí)的計(jì)算和仿真結(jié)果，如圖4所示。分析可知重物X方向位移的變化主要由變幅運(yùn)動(dòng)和重物的擺動(dòng)產(chǎn)生，計(jì)算和仿真的結(jié)果基本一致，8s以后的差異主要是由于重物平面內(nèi)擺角的差異造成。臂架豎直平面內(nèi)的橫向彎曲振動(dòng)引起了重物Z方向位移的變化，由計(jì)算和仿真得到的其變化的幅值和周期基本一致。與數(shù)值計(jì)算結(jié)果比較，仿真得到的重物平面內(nèi)擺角有周期性微幅的震蕩，且變化周期更長(zhǎng)，這一差異主要是因?yàn)閿?shù)值計(jì)算中并未考慮臂架的軸向振動(dòng)。

圖4 僅變幅運(yùn)動(dòng)時(shí)重物運(yùn)動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.4 Dynamic Response of the Payload When Luffing Only

4.3 同時(shí)變幅和起升運(yùn)動(dòng)時(shí)結(jié)果對(duì)比

同時(shí)進(jìn)行變幅和起升運(yùn)動(dòng)時(shí)的計(jì)算和仿真結(jié)果，圖略。起升運(yùn)動(dòng)和臂架的橫向彎曲振動(dòng)引起重物Z方向位移的變化，變化的周期和臂架的振動(dòng)周期一致。重物平面內(nèi)擺角仍有微幅的震蕩，且計(jì)算和仿真結(jié)果仍存在周期差異。另外，與第一種形式比較，起升運(yùn)動(dòng)引起了擺角幅值的增大和周期的縮短。

4.4 僅回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)結(jié)果對(duì)比

僅回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的計(jì)算和仿真結(jié)果，圖略。比較可知，計(jì)算和仿真得到的重物X方向和Y方向位移的變化趨勢(shì)都幾乎一致。Z方向位移的變化在初始階段比較吻合，但隨著時(shí)間的增加，計(jì)算的結(jié)果較仿真的結(jié)果其幅值變小而周期變長(zhǎng)。另外，重物平面內(nèi)的擺角和平面外的擺角的振動(dòng)周期仍存在差異，且仿真得到的結(jié)果存在明顯的周期性震蕩，這種差異產(chǎn)生的主要原因仍然是由于計(jì)算過(guò)程中忽略了臂架的軸向振動(dòng)和水平面內(nèi)的橫向彎曲振動(dòng)。可知在回轉(zhuǎn)減速運(yùn)動(dòng)階段，重物平面外的擺角會(huì)迅速增大。

5 結(jié)論

（1）建立的動(dòng)力學(xué)模型可以完整地描述塔式起重機(jī)各種典型的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，較準(zhǔn)確地跟蹤重物運(yùn)動(dòng)過(guò)程的位移響應(yīng)。（2）數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明模型可以近似地反映重物平面內(nèi)和平面外的擺角響應(yīng)，動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果還表明臂架的軸向振動(dòng)和水平面內(nèi)的橫向彎曲振動(dòng)會(huì)引起擺角的周期性微幅震蕩。（3）變幅運(yùn)動(dòng)和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)都會(huì)引起重物平面內(nèi)的擺動(dòng)。回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)還會(huì)引起重物平面外的擺動(dòng)，當(dāng)回轉(zhuǎn)快速制動(dòng)時(shí)會(huì)引起擺角的迅速增大。同時(shí)進(jìn)行變幅和起升運(yùn)動(dòng)時(shí)，起升運(yùn)動(dòng)會(huì)引起重物擺動(dòng)幅值的增大和周期的縮短。的研究結(jié)果對(duì)研究塔式起重機(jī)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和跟蹤重物軌跡、研究重物的擺動(dòng)規(guī)律具有重要的指導(dǎo)意義，同時(shí)對(duì)于研究大長(zhǎng)細(xì)比臂架類工作機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)也具有重要的參考價(jià)值。

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