振動的等效力傳遞路徑分析方法研究

潘運平，顏為光，王 飛

（武漢理工大學 機電工程學院，湖北 武漢 430070）

1 引言

經典傳遞路徑分析（Transfer Path Analysis，TPA）方法已被證明是一種分析振動的可靠方法，并在機床、汽車、船舶、飛機等領域的振動問題中被廣泛應用[1-2]。對于振動問題，經典TPA法一般首先拆解系統獲得振源激勵-響應傳遞函數，然后獲得工況激勵，最后計算不同振源的貢獻。由于實際中振源及安裝結構的復雜性，工況激勵的準確獲取非常困難。同時，拆解系統的工作非常繁瑣耗時。

假設一組作用于靜止狀態下系統中激勵源與結構連接處的等效力，可以在結構中重構出與系統工況運行時相同的響應，則可以利用這組等效力表征激勵源[3-5]。針對經典TPA法研究振動問題時的激勵力測量和系統拆解問題，在經典TPA法中對每個振源均引入一組作用于該振源與結構連接處的等效力代替激勵力以改進經典TPA法。由于等效力的計算涉及導納矩陣求逆問題，使用正則化方法來解決求逆時易出現的病態問題。搭建電機工作平臺并進行振動實驗驗證，結果證明了正則化方法解決導納矩陣病態問題的可行性及改進方法即振動的等效力傳遞路徑分析方法預測振動響應和計算振源貢獻的準確性。

2 經典TPA法理論

2.1 經典TPA法

傳遞路徑研究系統的傳遞特性[6]，對于振動問題，經典TPA法的理論如下：

式中：Fi—振源激勵力；Hi—傳遞函數；a—目標點響應；FiHi—第i個振源對目標點響應的貢獻[7]。需要注意：式（1）計算過程每次都是在單個頻率點進行的。

經典TPA法的一般步驟為：首先拆解系統并施加人工激勵以直接測量或利用互易法間接測量振源激勵力到目標點響應的傳遞函數；然后通過直接法或間接法獲得工況激勵力。之后即可按照式（1）預測目標點響應和計算源的貢獻[8]。其中，獲得工況激勵的常用方法有直接測量法、懸置剛度法及逆矩陣法[9]。

2.2 經典TPA法的局限性

經典TPA方法雖然結果可靠，但是也存在一些局限性：（1）實際的振源及安裝結構比較復雜，因此準確獲取工況激勵力較為困難。（2）獲取傳遞函數時需要拆解系統，繁瑣耗時。同時拆解實際上改變了系統工況運行時的邊界條件，而實際系統多少存在一定的非線性，因此會引起一定的誤差。

3 振動的等效力傳遞路徑分析方法

3.1 利用等效力表征振源改進經典TPA法

除了用激勵力表征激勵源外，還可以尋找一組作用于靜止狀態下系統中激勵源與結構連接處的等效力來表征，要求是等效力可以使系統產生與系統工況運行時相同的響應[4-5]。

針對經典TPA法研究振動問題時激勵力實時測量困難以及系統拆解工作繁瑣問題，在經典TPA法中引入等效力代替傳統激勵力，即對每個振源都用一組作用于振源與結構連接處的等效力表征，然后按照與經典TPA法類似的步驟預測振動響應和計算振源貢獻，從而形成了改進方法，即振動的等效力傳遞路徑分析方法。這不僅解決激勵力實時測量問題，還避免了拆解系統，因此更加方便可行。具體操作步驟如下：（1）對每個振源，選取分布于該振源與結構連接處若干點作為等效力作用點，即用一組作用于這些等效力點的等效力來表征該振源。為了能夠預測結構上關心響應點即目標點的振動響應和計算不同振源對目標點響應的貢獻，在結構上選擇若干響應點即參考點用于計算等效力，要求參考點盡量分散，避免集中或對稱，且參考點數量要大于等效力數量。（2）通過人工激勵獲得所有等效力點到參考點和目標點的激勵-響應傳遞函數，構造加速度導納矩陣。設某目標點振動響應為，則目標點響應與等效力之間的關系為：

式中：m—系統中振源的數量；kj—對于第j個振源用kj個等效力來表征，表征不同振源的等效力數量不一定相同；F（ji）—表征第 j個振源的第 i個等效力；H（ji）—等效力 F（ji）到目標點響應的傳遞函數。將式（2）寫成矩陣形式，即：

式中：［H（11）H（12）… H（1k1）… H（mkm）］—目標點導納矩陣。

設參考點振動響應為x，則參考點振動響應與等效力之間的關系為：

式中：n—參考點數量，要求參考點數量大于或等于等效力數量，即n≥k1+k2+…+km；xp—第p個參考點的響應；kj—表征第j個振源的等效力的數量；F（ji）—表征第j個振源的第i個等效力—等效力F（ji）到第p個參考點響應的傳遞函數。

式中：H—參考點導納矩陣。

（2）在工況運行條件下，測量結構上參考點響應Xope，利用式（5）即可計算該工況下的等效力為：

式中：Fope—該工況下的等效力，且滿足：然后即可按式（2）預測目標點的響應即：

式中：ypre—目標點響應的預測值；

3.2 正則化方法解決病態問題

在利用參考點響應求工況激勵時，為了保證參考點導納矩陣的逆矩陣存在，通常要求參考點數量大于等效力數量，則等效力的具體計算步驟如下[10]：對式（5）中的參考點導納矩陣H進行奇異值分解得到：

式中：k—等效力總數量；k=k1+k2+…+km，U=（u1，…，km）和V=（v1，…，vk）—單位列正交向量矩陣；VT—V的共軛轉置矩陣；Σ—對角矩陣，位于對角上的σi為奇異值并且σ1≥…≥σk≥0。

設r為正奇異值的個數，若直接用最小二乘法求解等效力，則結果為：

由于結構模態以及測量噪聲的影響，H中通常會出現較小的特征值。由式（10）可以看出，由于這些較小的特征值的存在，參考點響應Xope中較小的誤差也會在求得等效力Fope中造成較大的誤差，即導納矩陣易出現病態問題。Tikhonov正則化是目前解算病態問題應用較為普遍的一種方法，因此選用Tikhonov正則化來解決導納矩陣的病態問題。Tikhonov正則化方法求解等效力的準則為：

式中：λ—正則化參數；R—正則化矩陣；· —歐式（2）-范數。

當 R=Ik時，根據式（9）及式（11）可得 Tikhonov正則化方法求得等效力為：

可以看出，Tikhonov正則化方法可以削弱較小奇異值的影響，從而改善原矩陣的不適定性以得到穩定的解。確定正則化參數λ的大小通常用L曲線法或GCV（廣義交叉驗證）法，選用L曲線法。L曲線法的合理性在于它強調殘余范數||HFope-Xope||與正則化解范數||Fope||之間的平衡，而這種平衡是通過參數λ來實現的。

4 振動的等效力傳遞路徑分析方法驗證

4.1 驗證試驗

為驗證正則化方法解決導納矩陣病態問題的可行性以及振動的等效力傳遞路徑方法的準確性，設計了小型電機實驗平臺進行實驗驗證

4.1.1 實驗系統、測點布置以及等效力點選擇

實驗系統主要由實驗平臺和測試采集系統構成。實驗平臺主要是由2個小型直流電機和1塊（1000×1000×3）mm的鋼板組成。鋼板四個角落通過軟墊由四個剛性支座支撐，兩電機剛性安裝在鋼板背面，鋼板正面布置加速度測點，鋼板正面和背面電機布置，如圖1所示。測試采集系統主要包括加速度傳感器、力錘、B＆K采集設備以PULSELabShop測試軟件，實驗主要儀器，如圖2所示。

圖1 實驗平臺Fig.1 Experiment Platform

圖2 試驗主要儀器Fig.2 Main Test Instruments

設鋼板背面兩電機分別為1號和2號電機，其與鋼板連接位置對應鋼板正面區域分別為#1和#2區域，則在#1和#2區域各選擇均勻分布的5個點作為等效力作用點，即對每個電機各用作用于該電機與鋼板連接處的5個等效力來表征其激勵，則本實驗中2個電機一共用了共10個等效力來表征，兩組等效力作用點位置分別如圖3中#1位置和#2位置所示。在鋼板正面隨機選擇15個點作為結構響應點并安裝加速度傳感器，命名為1號點到15號點，其位置分布，如圖3所示。

圖3 電機和等效力位置及測點布置示意圖Fig.3 Motors and Equivalent Forces’Positions and Measuring Points’Layout Diagram

4.1.2 實驗過程

設14號點和15號點為目標點，選取1號～13號點為參考點，然后即可進行基于振動的等效力傳遞路徑分析方法的電機平臺振動實驗，具體步驟為：

（1）進行力錘敲擊獲取傳遞函數，在每個等效力點進行3次敲擊，經平均后計算出（13×10）維的參考點導納矩陣和兩個（1×10）維的目標點導納矩陣；

（2）讓兩個電機各以一定轉速同時運行，測量混合運行工況下15個測點的響應；

（3）按照分布運轉法讓兩電機按混合工況時轉速各單獨運行3次，測量并經平均后計算單開工況下兩目標點的響應，將其作為兩電機對兩目標點響應貢獻的實測值。

首先根據混合工況時參考點響應按公式（6）計算工況等效力，然后按公式（8）計算兩電機對目標點響應的貢獻并預測兩目標點響應。將響應預測值與混合工況時實測值對比，即可驗證該方法預測響應是否準確，將貢獻計算值與分布運轉法所得實測值對比，即可驗證振源貢獻計算是否準確。

4.2 實驗結果分析

為檢驗正則化方法解決導納矩陣病態問題的效果，在利用振動的等效力傳遞路徑分析方法計算分析過程中，分別采用直接最小二乘法和Tikhonov正則化方法計算求解等效力，將最終結果進行對比，其中Tikhonov正則化方法的正則化參數用L曲線法確定。兩目標點響應的預測值與實測值及兩電機對兩目標點貢獻的計算值與實測值的1/3倍頻程幅值譜對比，如圖4～圖9所示。

圖4 14號點響應實測值與預測值對比Fig.4 Comparison of the Measured and Predicted Value of the 14th Point’s Response

圖5 1號電機對14號點響應貢獻實測值與計算值對比Fig.5 Comparison of the Measured and Evaluated Value of No.1 Motor’s Contribution to the 14th Point’s Response

圖6 2號電機對14號點響應貢獻實測值與計算值對比Fig.6 Comparison of the Measured and Evaluated Value of No.2 motor’s Contribution to the 14th Point’s Response

圖7 15號點響應實測值與預測值對比Fig.7 Comparison of the Measured and Predicted Value of the 15th Point’s Response

圖8 1號電機對15號點響應貢獻實測值與計算值對比Fig.8 Comparison of the Measured and Evaluated Value of No.1 Motor’s Contribution to the 15th Point’s Response

圖9 2號電機對15號點響應貢獻實測值與計算值對比Fig.9 Comparison of the Measured and Evaluated Value of No.2 motor’s Contribution to the 15th Point’s Response

為加深對驗證效果的理解，進一步求所得結果在整個頻段的總加速度級計算誤差，其計算公式為：

式中：Δ—總加速度級計算誤差，n為1/3倍頻程數；

a_pi—在第i個頻程加速度響應預測值或貢獻計算值；

a_mi—在第i個頻程加速度響應或貢獻的實測值；

g—重力加速度常數，直接用最小二乘法和用正則化方法求等效力對應最終結果的總加速度級計算誤差，如表1所示。

表1 兩目標點響應及兩電機貢獻的總加速度級計算誤差Tab.1 The Calculation Error of the Total Acceleration Level of the Two Target Points’Response and the Two Motors’Contributions

從曲線圖來看，運用振動的等效力傳遞路徑分析方法預測振動響應時，若使用正則化方法求等效力，則兩目標點均是除個別頻點外，在絕大多數頻段，加速度響應的預測值與實測值的頻譜吻合得非常好；而直接使用最小二乘法求等效力與正則化方法相比，其在高頻段預測結果出現了較大的誤差。在計算對目標點響應貢獻時，若使用正則化方法求等效力，則除個別頻點外，在絕大多數頻段，兩電機對兩目標點貢獻計算值均與分部運轉法獲得的實測值吻合得較好，但是若直接使用最小二乘方法求等效力，則與正則化方法相比，計算誤差明顯要大得多。這是由于結構模態以及測量噪聲的影響，不同等效力作用點獲得的傳遞函數之間相關性較大，導納矩陣易出現病態，所以直接最小二乘法不是良好的計算方法，而正則化方法通過引入正則化系數，可以在有效地緩解導納矩陣求逆過程中的不適定問題，提高等效力求解的穩定性，所以計算結果較為吻合。

從表1來看，使用正則化方法求等效力，振動的等效力傳遞路徑分析方法無論是預測目標點響應還是計算電機對目標點的貢獻，其結果在整個頻段內的總加速度級誤差均非常小，而若直接使用最小二乘法求等效力，則其結果的總加速度級誤差要大得多，這再次驗證了上述結論。實驗結果說明：正則化方法可以有效解決求等效力過程中的導納矩陣病態問題，改進方法即振動的等效力傳遞路徑分析方法可以較準確地預測振動響應和計算振源的貢獻。

5 結論

在利用經典傳遞路徑分析（Transfer Path Analysis，TPA）方法預測系統振動響應和計算振源的貢獻時，不僅激勵力的實時測量比較困難，而且系統拆解繁瑣耗時。針對該問題，通過在經典TPA法中引入等效力代替傳統的激勵力，即對系統中每個振源均用作用于該振源與結構連接處的一組等效力來表征該振源以改進經典TPA法，并利用正則化方法解決導納矩陣求逆時易出現的病態問題，改進的方法即振動的等效力傳遞路徑分析方法不僅解決了激勵力實時測量問題，還避免了系統拆解工作，因此更為簡單可行。搭建電機實驗平臺對該方法進行振動實驗驗證，結果表明：正則化方法可以解決導納矩陣病態問題，振動的等效力傳遞路徑分析方法可以較為準確地預測系統振動響應和計算振源貢獻。

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