一種新型橢圓齒輪馬達的動力學分析

魏 爽，李殿起，陳平亮，劉光輝

(沈陽工業大學機械工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 前言

非圓行星齒輪液壓馬達是一種新型的液壓馬達，具有結構緊湊、抗污染能力強等特點，已成為近年來馬達研究的一個新方向[1]。武麗梅綜述了非圓齒輪技術的發展及應用[2]；熊鎮芹研究了非圓齒輪馬達的配流特性，計算了配流孔的個數及配流面積[3]；許鴻昊提出了階梯型設計內齒圈、行星輪及太陽輪厚度的方法，以提高馬達的總效率[1]，但以上都局限于對低階非圓齒輪馬達的研究。本文提出一種高階非圓齒輪馬達：6-8階橢圓齒輪馬達，研究了該馬達中橢圓齒輪系統的動力學特性，并分析了振動響應。為非圓齒輪馬達應用過程中合理的確定動態系數來滿足工程要求提供了依據。

1 6-8階橢圓齒輪馬達的工作原理及結構

1.1 橢圓齒輪馬達的工作原理

6-8階橢圓行星齒輪馬達由6-8階橢圓行星齒輪機構、馬達殼體、配液裝置、動力輸出裝置、密封系統等組成。馬達殼體外側有兩條進排液管道，通過液壓軟管與換向閥相連，內側設有進排液孔[4]，與橢圓行星齒輪機構中相鄰的兩個行星輪形成密閉容腔。其中，橢圓齒輪系統是由節曲線分別是6階橢圓的太陽輪和8階橢圓的內齒圈以及圓柱行星輪組成的。由于相鄰兩行星輪的中心夾角是變化的，因此橢圓行星齒輪馬達沒有行星架，依靠齒輪之間的嚙合力運轉，既液壓油推動行星輪旋轉，太陽輪通過連軸鋼球與動力輸出軸相連，在行星輪的嚙合作用下，輸出動力。圖1是6-8階橢圓行星齒輪馬達中行星輪系統的結構。

圖1 6-8階橢圓行星齒輪馬達行星輪系統的結構

1.2 橢圓行星齒輪機構中太陽輪及內齒圈的節曲線

在橢圓行星齒輪機構中，令行星輪的公轉角速度為0，那么太陽輪和內齒圈分別以W1、W3的角速度轉動，行星輪在以角速度W2自轉的同時，還要沿中心連線方向做平移[5]。令行星輪與內齒圈及太陽輪節曲線的瞬時切點分別為C、D兩點，由三心定理可知，輪系中心0與C、D三點是共線的[6]。圖2是非圓齒輪機構的運動關系簡圖。

圖2 非圓齒輪輪系運動關系

橢圓太陽輪的極坐標方程為[5]

(1)

令D點的節曲線切線正向與向徑rs的夾角為μ1，則

(2)

內齒圈的節曲線方程為

(3)

為保證馬達能正常工作，橢圓行星齒輪系統的節曲線需要滿足以下條件：

(3)不發生干涉的條件，即太陽輪最大向徑處的齒頂與內齒圈最小向徑處的齒頂不會碰撞[7]。

給出不同的Ns、Nr、模數m，行星輪齒數zp，由以上方程就能得到相應的RZ和e，從而得到橢圓齒輪系統中各齒輪的節曲線。圖3是取m=1時，得到的6-8階橢圓齒輪的太陽輪和內齒圈的節曲線。

圖3 6-8階橢圓齒輪的節曲線

1.3 太陽輪及內齒圈的齒廓

對于節曲線有內凹的非圓齒輪,需要用產形齒輪與非圓齒輪內、外嚙合來設計非圓齒輪的齒廓，其中產形齒輪基圓的切線是產形齒輪與嚙合齒輪的瞬時嚙合線[6]。本文介紹一種借助MATLAB計算語言由太陽輪的節曲線參數插值得到內齒圈齒廓的方法。

(4)

在靜坐標系o1x1y1中，Fs點的直角坐標為[6]

(5)

其中，x2s、y2s是Fs點在坐標系o2x2my2m中的坐標；β1是過C點的豎直線與直線O2C之間的夾角；x102、y102是產形齒輪的中心在靜坐標系o1x1y1中的坐標。

式(1)～(3)用極坐標的方法，由太陽輪的節曲線，得出了內齒圈的節曲線，而式(5)是直角坐標的形式，因此可以用三樣條插值法把極坐標轉換成直角坐標：將太陽輪的轉角φs分成若干等分，并找到內齒圈瞬時極角φr對應的相鄰的四個太陽輪轉角，采用插值的方法，擬合可得到這四個太陽輪轉角對應的內齒圈極徑的公式。

令產形齒輪的半徑為r2，則產形齒輪的中心在靜坐標系o1x1y1中的坐標為

(6)

其中r2是產形齒輪的節圓半徑。通過式(6)可把極坐標轉換成直角坐標表示，把式(6)帶入式(5)便可得到Fs點的直角坐標。Fs點的坐標是關于轉角t1的參數方程，當t1由小變大時，將動坐標系o2x2my2m和靜坐標系o1x1y1進行坐標轉換，嚙合點在內齒圈的齒廓上，由齒頂運動到齒根部，即得到了內齒圈的順時針齒廓，內齒圈的逆時針齒廓及太陽輪的齒廓是用類似的方法得到的。圖4是已知太陽輪的節曲線公式通過插值法得到的內齒圈的齒廓，由于內齒圈節曲線的曲率時刻變化，導致內齒圈的各個齒廓的形狀也各不相同[7]。

圖4 由插值法得到的內齒圈齒廓

2 6-8階橢圓行星齒輪系統的動力學分析

2.1 橢圓行星齒輪系統的運動規律

找出各參數隨太陽輪轉角的變化規律，能為齒輪動力學研究提供方向。圖5～7分別繪制了太陽輪的極徑、內齒圈的轉角及內齒圈的角速度隨太陽輪轉角的變化規律。

由圖5～7看出，太陽輪的極徑隨著轉角時刻變化，導致太陽輪與行星輪外嚙合的中心矩以及太陽輪的當量圓齒輪的轉動慣量是時變的。由于非圓齒輪每個齒廓的形狀各不相同，導致嚙合角時刻變化；以太陽輪為參考，內齒圈的角速度是波動的，導致太陽輪轉角為φs時，行星輪的轉角不等于φs/(Ns+Nr)，而是在其上下波動 。非圓行星齒輪系統的動態特性比圓柱行星齒輪系統的動態特性復雜，因此，需要對非圓行星齒輪的動力學特性進行分析，以減小非圓行星齒輪系統在實際應用中的振動及噪聲。

圖5 太陽輪的極徑與太陽輪轉角的關系

圖6 內齒圈的轉角與太陽輪轉角的關系

圖7 內齒圈的角速度與太陽輪轉角的關系

2.2 6-8階橢圓行星齒輪的動力學模型及分析

6-8階橢圓齒輪系統產生振動的因素除了包括輪齒動態激勵，如：齒輪本身的結構形式、幾何特性及誤差等，還包括動態嚙合力等。因此原則上必須從整個行星齒輪系統出發，建立齒輪的振動分析模型。本文假定齒輪傳動軸、支撐軸承和馬達殼體的支撐剛度足夠大，可不考慮它們的彈性，并且輸出軸的剛度較小，可將行星齒輪系統與原動機隔離，從而單獨建立齒輪系統的純扭轉振動模型。圖8是基于以上條件建立的橢圓行星齒輪系統的力學模型。

圖8 橢圓行星齒輪系統的力學模型

由于橢圓行星齒輪內、外嚙合的傳動比是時刻變化的，在每一瞬時，都可以將橢圓太陽輪和內齒圈等效成各自瞬時半徑對應的圓齒輪。那么在任意時刻橢圓齒輪的動力學模型也可以由節圓半徑分別為rs、rr的圓柱太陽輪和圓柱內齒圈替代，然后利用逐段線性近似法[8]求出整個系統的振動響應。首先，將每個回轉周期劃分成微小的時間段[9]，采用數值解法來分析微小時間段內橢圓行星齒輪的振動模型。

定義內外嚙合線上的相對位移Xrdi及Xsdi為

(7)

則微小時間段內非圓行星齒輪副嚙合傳動的振動方程為

(8)

為轉矩的等效力；J為轉動慣量；Rb為瞬時當量齒輪半徑；Ms為太陽輪的當量質量；Mpi為單個行星輪的當量質量。

扭轉振動模型可用矩陣表示為[11]

(9)

(10)

式中，Km為剛度的平均值；Kpic、Kpis分別為嚙合副時變嚙合剛度的余弦系數及正弦系數[12]。

嚙合時間

(11)

圖9 行星輪直徑與太陽輪轉角的關系

當確定負載轉矩后，根據轉矩關系及與各個行星輪嚙合的太陽輪的瞬時當量半徑，就可以確定PL、PDi。以上分析將動力學模型中隨集中轉動慣量的轉角變化的參數(振動產生的根本因素)：剛度K、阻尼C及轉矩等效力P確定了。

2.3 動力學方程的求解

對于非線性方程組，可以利用龍格庫塔方法進行求解，得到其數值解。以模數m=2的6-8階橢圓行星齒輪為算例，該齒輪系統的參數為：齒數Zs=78，Zpi=12，Zr=104，齒寬b=20 mm，壓力角?=20°，齒輪副側隙bps=bpr=30 μm，阻尼比系數ζ=0.04，太陽輪的轉速ns=180 r/min，嚙合綜合誤差espi=erpi=2 um，輸出轉矩T=80 N·m，外嚙合平均剛度Kmsp=0.556 98 GN/m，內嚙合平均剛度Kmrp=0.534 82 GN/m。

圖10是該橢圓齒輪系統的速度響應，圖11是位移頻率譜。

圖10 速度響應

由圖10及圖11看出，在以上給定的參數下，橢圓行星齒輪系統的位移響應不像圓柱行星齒輪系統那樣，最大幅值并不在嚙合頻率及倍頻處，但內外嚙合振動的最大幅值出現在同一頻率處。

圖11 位移頻率譜

3 結論

(1)提出了一種新型的低速大扭矩馬達即6-8階橢圓齒輪馬達， 相比于現有文獻中研究的非圓齒輪馬達，該類型馬達的排量大、效率高，同時由于結構相對復雜，導致動態特性較差。

(2)橢圓行星齒輪馬達由液壓油推動行星輪來輸入動力，太陽輪連接輸出軸輸出動力。行星輪與太陽輪的轉角關系及行星輪的嚙合相位差不同于普通圓柱行星齒輪，導致橢圓行星齒輪系統的動力學方程與普通圓柱行星齒輪不同，文中給出的動力學方程及求解方法適用于任何類型橢圓行星齒輪系統，從而為橢圓行星齒輪馬達的振動分析提供了理論依據。

[1] 許鴻昊，張華，沈銀杰．非圓行星齒輪液壓馬達總效率的提高[J]．液壓與氣動，2014(04)：80-84.

[2] 武麗梅，魯墨武．非圓齒輪技術的發展及應用[J]．沈陽航空工業學院學報，2000，17(01)：23-26.

[3] 熊鎮芹，吳序堂，高本河.非圓行星齒輪液壓馬達參數設計[J].機床與液壓，2004(05):50-51.

[4] 非圓齒輪行星輪系低速大扭矩液壓馬達[P].

[5] 吳序堂，王貴海.非圓齒輪及非勻速比傳動[M].北京：機械工業出版社,1997.

[6] 姚文席.非圓齒輪設計[M].北京：機械工業出版社，2013.

[7] Bair B W．Computer Aided Design of Elliptical Gears[J]．Journal of Mechanical Design，2002，124(12)：787-793.

[8] 楊叔子，楊克沖.機械工程控制基礎[M].武漢：華中科技大學出版社,2002.

[9] 王雷.非圓齒輪動力學特性研究[D].鄭州：鄭州大學，2008.

[10] 孫智民,季林紅,沈允文.2K-H行星齒輪傳動非線性動力學[J].清華大學學報(自然科學版),2003,43(05)：636-639.

[11] 葉福民.非等模數非等壓力角行星齒輪傳動系統設計與動力學特性研究[D].南京：南京航空航天大學，2014.

[12] 肖正明.土壓平衡盾構機主減速器三級行星齒輪系統動力學[D].重慶：重慶大學，2011.