兆瓦級超高速永磁電機軸剛性與模態分析

張炳義，劉利軍，馮桂宏

(1.沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870；2.沈陽工業大學 機械工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 前言

兆瓦級超高速永磁電機，具有體積小、功率密度大、無刷、效率高等優點，可以直接與負載相連，特別適合高速離心式壓縮機、儲能飛輪、飛機或艦載供電設備等分布式發電系統[1-3]。此類電機應用中的一個突出問題是電機軸的振動。

對于超高速電機振動問題，前人的研究主要集中在轉子及軸的模態和臨界轉速的研究。轉子的臨界轉速計算大多采用傳遞矩陣法和有限元法[4-5]。文獻[6]用有限元分析及實驗方法計算由柔性聯軸器耦合的多跨轉子軸系臨界轉速及振動模態，用有限元軟件的彈簧單元模擬彈性聯軸器的軸向、徑向及扭轉剛度，分析聯軸器剛度、結構參數對軸系臨界轉速的影響。文獻[7]對轉子系統在對中與不對中情況進行模態分析提取其固有頻率、臨界轉速、振型和Campbell圖等模態參數，分析發現各階固有頻率都遠大于轉子系統本身的固有頻率1 000 Hz，因此系統不會發生共振。以上文獻均沒有對軸的剛性對電機振動的問題進行研究。

本文以一臺1200 kW，18 000 r/min的艦載高速壓縮機直驅永磁電機為例，首先提出能量法對軸的剛性進行解析計算，得到了軸的最大變形。并依據軸的最大變形量不應大于氣隙值的10%這一原則，判定該軸滿足要求。接著采用有限元軟件對軸的剛性進行仿真驗證。對于臨界轉速的問題，采用當量直徑法對一階臨界轉速進行解析計算并采用有限元法進行了模態分析加以驗證。結果表明，所提出的解析法與有限元仿真結果基本保持一致，驗證了解析法的正確性，對兆瓦級超高速永磁電機振動問題的研究有一定的參考價值。

1 轉子軸的剛性分析

本文以某艦載高速壓縮機直驅永磁電機為例進行振動研究。電機轉子直徑為240 mm,軸向長度為910 mm，據此設計了轉子軸如圖1所示。

圖1 轉子軸的結構設計

1.1 解析法對轉子軸的剛性分析

轉子軸主要受自重和轉子鐵心的重力作用。使用三維建模軟件畫出軸與轉子鐵心模型，并賦予材料密度，其中軸的材料為40Cr，密度7 850 kg/m3；轉子硅鋼片密度7 700 kg/m3；磁鋼密度7 700 kg/m3；不銹鋼密度7 900 kg/m3。由軟件自動計算出軸的重力G1=1 044.37 N，轉子的重力G2=2 261.13 N。在不產生較大誤差的情況下，可以作出以下簡化：

(1) 由于軸與轉子配合段的長度占整個軸長的70.2%，把轉子和軸的重量都等效為配合段的均布載荷來對軸的受力情況進行簡化；

(2) 階梯軸相鄰的軸段之間直徑差別不大，可以將相鄰的幾段進行合并；

(3) 螺紋和鍵槽部分去除的材料很少，可以簡化為光軸；

(4) 不考慮圓角和倒角。

簡化后的軸如圖2所示。其中，d0=70 mm，d1=90 mm，d2=110 mm，d3=125 mm，d4=97 mm，l0=165 mm，l1=66 mm，l2=33 mm，l3=960 mm，l4=73 m，q=(G1+G2)/l=(1044.37+2261.13)/0.91=3632.42 N/m。

由于軸兩端Φ90的軸段與軸承配合，故這兩處存在支反力；此外，這兩段的軸向長度占整個軸長的比例很小，因此可以簡化為兩個集中力，位置在軸段的中心，整個軸的受力情況如圖3所示。

圖2 軸的簡化

圖3 軸的受力

其中l5=200.5 mm，l6=88.5 mm，l7=1 080 mm，l=910 mm，L=1 297 mm由力的平衡方程和力矩平衡方程，有

FRA+FRB=ql

(1)

(2)

從而，求得FRA=1641.79 N，FRB=1663.71 N。

根據材料力學的截面法求各段的彎矩方程，設軸的左端為坐標原點，軸上某一點的位置為x，首先對BC段進行分析，在BC段內取距原點距離為x的任意截面，截面左側只有力FRA，求得該段的彎矩方程為

M(x)=FRA(x-l5)(l5≤x≤l5+l6)

(3)

同理，求CD段的彎矩方程，有

(l5+l6≤x≤l5+l6+l)

(4)

DE段彎矩方程為

M(x)=FRB(l5+l7-x)
(l5+l6+l≤x≤l5+l7)

(5)

根據以上計算作出彎矩圖，如圖4所示，圖中所標算式為極值點的縱坐標值：采用能量法計算軸的彎曲剛度，在軸的中心點施加一單位力Fi=1N，則單位力矩方程為[8]

M′(x)=(L-x)/2(0≤x≤L)

(6)

圖4 彎矩圖

則軸上某一軸段的變形量可以通過計算式為

(7)

(8)

其中，Dn為各個軸段的變形量；ln為各個軸段的長度；M為該段軸所受的力矩；M′為單位力矩；E為40Cr材料的彈性模量，此處取2.11×105MPa；I為某一軸段的截面慣性矩；In為第n段的慣性矩；dn為第n段的直徑。

將d0～d4數據代入(8)式中，得到各軸段慣性矩數值見表1。

表1 各軸段慣性矩

計算各軸段的變形量。由于BC段在圖2中包括三個直徑為d1、d2、d3的三個軸段，因此需要分成三段進行計算，將式(3)和式(6)代入式(7)，得到BC段的變形量為

(9)

(10)

(11)

CD段在圖2中只包括直徑為d3的軸段，不需分段，CD段的變形量為

(12)

DE段在圖2中包括直徑為d3和d4的兩個軸段，因此需要分成兩段進行計算DE段的變形量，即

(13)

(14)

將相關數據代入式(9)～(14)，得到的各段變形量數值如表2所示。則中心點處的總變形量為：

Dtotal=D1+D2+D31+D32+D33+D4

(15)

將表2中數據代入式(15)，得到中心點處的總變形為Dtotal=0.041 277 mm。

表2 各軸段變形量

1.2 有限元法對轉子軸的剛性分析

有限元法的優點在于使用計算機求解復雜模型，結果準確可靠。使用有限元分析軟件進行結構場分析，來驗證解析結果的正確性。

首先賦予材料屬性，軸所用40Cr材料的物理性能見表3。

表3 40Cr物理性能

考慮到以下幾個因素，對轉子部分的建模進行簡化：

(1) 仿真分析的目的是得到軸的變形量，而轉子鐵心部分的作用只是對軸施加一個外載荷；

(2) 如果建立轉子鐵心部分的詳細模型，在進行有限元分析時，賦予材料屬性時十分繁瑣；

(3) 建立詳細的模型還會產生很多接觸對，而接觸問題屬于非線性問題，求解的時間很長；

(4) 轉子鐵心與磁鋼之間，以及與加強筋之間的應力與變形等問題不是我們的關注點。

綜上所述，在進行有限元分析時，不必要建立轉子鐵心部分的詳細模型，只需要用一個平均密度與轉子鐵心部分相等的厚壁圓筒代替即可。將簡化后的轉子與軸進行裝配，并導入有限元分析軟件進行仿真分析。對軸劃分四面體網格，在Relevance Center(相關性中心)中設置等級為Fine(細化)，網格劃分情況如圖5所示。

圖5 軸的網格劃分

對軸施加邊界條件。兩段Φ90的軸段與深溝球軸承配合，故可將兩軸承中的一個簡化成固定鉸支座，另一個簡化成可動鉸支座。在軟件中對應的設置為，將一端的軸承段圓柱面設置為固定約束，另一端軸承段圓柱面設置為圓柱面約束，其中徑向和切向固定，軸向自由；對軸和轉子鐵心同時施加標準地球重力加速度，進行求解后的總體變形如圖6所示。

圖6 軸的總體變形

由圖6可知，軸的最大變形位置就在與轉子配合的中心位置，變形量為0.037 573 mm，與解析計算結果非常接近，驗證了解析法的正確性。由于軸的最大變形量在電機氣隙值的10%以內時，軸的剛性能夠滿足使用要求。本文的轉子外徑為240 mm，定子內徑為245 mm，因此氣隙值為2.5mm，允許的最大變形量為0.25mm，因此該軸能夠滿足使用要求。

2 轉子軸的臨界轉速分析

對轉子軸臨界轉速分析的目的在于，明確工作轉速是否接近臨界轉速，如果接近臨界轉速，則會引起共振，導致電機不能正常使用，甚至發生事故，造成嚴重的后果。

2.1 解析法對轉子軸的臨界轉速分析

要計算轉子軸的臨界轉速，首先要將復雜的階梯軸進行簡化，通過式(16)計算階梯軸的當量直徑，把轉子軸看做當量直徑為dv的光軸為

(16)

式中，k為經驗修正系數，依據軸的尺寸參數進行選取，由于該軸直徑最大的一段的長度大于軸全長的50%，因此經驗系數可取1；dn為第n個軸段的直徑；ln為第n個軸段的長度。

將圖1中尺寸參數代入式(16)，計算得到當量直徑為114.098 mm。

計算轉子軸的一階臨界轉速為

(17)

式中，n1為一階臨界轉速；G1為轉子軸的自身重量；L為轉子軸的總長度；an為兩端軸承之間第n個圓盤到左端軸承之間的距離；bn為兩端軸承之間第n個圓盤到右端軸承之間的距離；Gn為兩端軸承之間第n個圓盤的自身重量。

由于整個軸段只有一個圓盤，即轉子鐵心，其自身重量為2 261.13 N；轉子鐵心的中心到左右兩端軸承位中心線的距離分別為a=548.5 mm，b=531.5 mm。將所有相關數據代入式(17)，得到一階臨界轉速n1=14 576.39 r/min。機械設計手冊中并未給出其它各階臨界轉速的計算公式，本文使用有限元軟件進行分析。

2.2 有限元法對轉子軸的臨界轉速分析

臨界轉速與軸的橫向振動固有頻率在數值上相等，為避免軸在運轉中產生共振現象，設計的軸不應當同任何一階臨界轉速相接近，也不能與一階臨界轉速的簡單倍數相重合。對于剛性軸，應使工作轉速小于一階臨界轉速的0.75倍；對于撓性軸，應使其大于1.4倍一階臨界轉速，小于0.7倍二階臨界轉速[9]。

采用有限元軟件對轉子軸進行模態分析[10]。軸在Φ90的兩軸段與軸承配合，因此對這兩段施加圓柱面約束，一端約束軸向和徑向自由度，切向自由，另一端約束徑向自由度，軸向和徑向自由。得到各階模態及振型如圖7～10所示。得到軸的前四階固有頻率，將其換算為臨界轉速，結果見表4。

圖7 軸的一階固有頻率及振型

圖8 軸的二階固有頻率及振型

圖9 軸的三階固有頻率及振型

圖10 軸的四階固有頻率及振型

階次固有頻率/Hz臨界轉速/(r·min-1)一階408 8312265二階1096 932907三階1104 733141四階1361 340839

用有限元分析軟件得到的一階臨界轉速與解析法計算的結果比較接近，由于仿真的模型并未簡化，筆者認為仿真結果更接近實際結果，因此取一階臨界轉速為12 265 r/min。一階臨界轉速的1.4倍為17 171 r/min，二階臨界轉速的0.7倍為23 035 r/min，而電機的額定轉速為18 000r/min，恰好介于兩者之間，因此該軸為撓性軸，能夠滿足使用要求。

3 結束語

本文針對一臺1 200 kW，18 000 r/min的艦載高速壓縮機直驅永磁電機為例進行了振動研究。在分析了軸的工況與受力后，采用能量法原理，對電機軸的剛性分段計算，采用有限元的結構場進行仿真驗證。二者結果基本一致，軸的最大形變未超過電機氣隙的10%，可以滿足使用要求。針對臨界轉速的問題，采用當量直徑法將電機軸簡化成一光軸，并對軸的一階臨界轉速進行計算，采用有限元法進行模態分析加以印證。兩者結果基本一致，軸的工作轉速符合撓性軸的要求，可以滿足使用要求。本文提出的解析算法與仿真方法對兆瓦級超高速永磁電機振動問題的研究有一定的參考價值。

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