通過(guò)函數(shù)變換探究函數(shù)零點(diǎn)的存在性

蘇洪普

近兩年，在全國(guó)高考試題和各地模擬試題中，有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題是一個(gè)熱門考點(diǎn)，理所當(dāng)然的也就成為我們教學(xué)一線的熱點(diǎn)問(wèn)題。這類問(wèn)題一般可以歸結(jié)為已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，來(lái)探究函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的存在性。在具體求解過(guò)程中，證明，使得（或）成為一個(gè)探究性的問(wèn)題，也是難點(diǎn)所在。究其原因主要有兩個(gè)：一是函數(shù)一般由幾個(gè)基本初等函數(shù)的和差積商或者復(fù)合而成，且構(gòu)成的各個(gè)部分難以直接通過(guò)因式分解等手段聯(lián)系起來(lái)，從而達(dá)到判斷符號(hào)的目的;二是函數(shù)中含有參數(shù)，因?yàn)閰?shù)的變化導(dǎo)致探究的難度。下面以幾個(gè)例子，闡述通過(guò)對(duì)構(gòu)成的部分函數(shù)的變換，使構(gòu)成的各個(gè)部分能有機(jī)結(jié)合起來(lái)，進(jìn)而確定的方法和道理。

例1（2017·全國(guó)卷Ⅰ理·T21）

已知函數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性;

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍。

本例（1）的結(jié)論是：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減。

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)。

（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，

取得最小值，最小值為。

①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn);

②當(dāng)時(shí)，由于，

即，故沒(méi)有零點(diǎn);

③當(dāng)時(shí)，，即

因?yàn)椋滞ㄟ^(guò)觀察的解析式的特征知，

時(shí)，，

所以必存在，使得。

又，

故在有一個(gè)零點(diǎn)。

這里是如何探究出的呢？

，

設(shè)正整數(shù)滿足，

這里是如何探究出的呢？

當(dāng)時(shí)，顯然在函數(shù)的變化過(guò)程中是主體地位，故可以考慮將縮小，

容易知道，

所以

。

顯然為增函數(shù)，且其零點(diǎn)為，故問(wèn)題得以解決。

上面原函數(shù)的變形過(guò)程基于對(duì)構(gòu)成原函數(shù)的基本初等函數(shù)及其變化規(guī)律的觀察與分析。

則。

由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上，的取值范圍為。

例2（2016·全國(guó)卷Ⅰ文·T21）

已知函數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性;

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍。

簡(jiǎn)析：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

當(dāng)時(shí)，顯然只有一個(gè)零點(diǎn)2;

當(dāng)時(shí)，有極小值。

又觀察易知，

所以內(nèi)必存在唯一零點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，，。

如何探究？

探究一：

。

顯然時(shí)，。

探究二：

因?yàn)椋ó?dāng)）

所以。

所以當(dāng)且時(shí)，必有。

通過(guò)上面的例子我們不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)變換的過(guò)程是對(duì)放縮的過(guò)程，通過(guò)這種變換使得原來(lái)構(gòu)成的難以溝通的各部分轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)，從而容易探究出，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想。而如何完成這種函數(shù)變換，則需要實(shí)施者對(duì)函數(shù)的構(gòu)成特點(diǎn)，參數(shù)的取值范圍以及單調(diào)區(qū)間有一個(gè)細(xì)致的觀察與分析，同時(shí)還需要掌握利用曲線的切線方程將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)。