例談利用幾何畫板優化“動態圓問題”教學

李健華

[摘 要]幾何畫板操作簡單，無須編制任何程序，具有使圖形以及對象動態化的特點。磁場中的“動態圓問題”是高中物理的一個難點問題。充分利用幾何畫板的動態功能追蹤軌跡圓的變化狀態，將其隱性規律顯性化，可有效突破此難點，激發學生的學習興趣。

[關鍵詞]幾何畫板；動態圓問題；高中物理

[中圖分類號] G633.7 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0047-02

磁場中的“動態圓問題”是高中物理的一個難點問題，其中運動圓軌跡的規律變化確定對學生來說最為困難。在傳統教學中，教師常采用講授的方法，致使學生對圓的軌跡變化規律難于理解，特別是臨界點情況。而利用幾何畫板的動態功能，可追蹤軌跡圓的變化狀態，把其隱性規律顯性化，化繁為簡，快速創設易于學生理解的學習情境。本文就動態圓問題的三種模型進行歸類總結，并整合幾何畫板的功能特點，展示帶電粒子在磁場中運動的動態過程，從而幫助學生突破學習難點。

一、入射速度的入射點與方向已知，其大小變化

模型一：垂直向里的勻強磁場中，不同速度大小的帶正電的粒子沿與水平方向成θ角的方向射出。

利用幾何畫板改變速度v的大小，追蹤圓弧的軌跡，如圖1所示，不難發現，過定點A的放縮圓有以下規律：（1） 各動態圓均過定點A； （2） 各動態圓周期T相同 ； （3） 各動態圓的圓心所在的軌跡為直線； （4） 各動態圓的半徑R各不相同。

【例1】（2013年南通模擬卷） 如圖2所示，一足夠長的矩形區域abcd內充滿方向垂直紙面向里的、磁感應強度為B的勻強磁場，在ad邊中點O，方向垂直磁場向里射入一速度方向跟ad邊夾角為θ=30°、大小為v0的帶正電粒子，已知粒子質量為m，電量為q，ad邊長為L，ab邊足夠長，粒子重力不計，求：

（1）粒子能從ab邊上射出磁場的v0大小范圍。

（2）如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場中運動的最長時間。

分析：通過幾何畫板的追蹤功能，利用放縮圓法，動態地放縮粒子速度的大小，粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡動態生成，展示在學生面前，如圖3所示。在磁場中做勻速圓周運動的粒子，其運動速度越大，軌跡圓半徑R越大。隨著半徑R的增大，其運動軌跡首先與上邊界ab相切，此時軌跡半徑最小，對應的速度為最小值。半徑R繼續增大，當其運動軌跡與下邊界cd相切時，時間最長，求出此時的圓心角，然后再求出運動時間。

點評：在傳統的物理教學中，學生很難理解這一動態過程，而利用幾何畫板的動態功能，點擊速度v0箭頭末端的紅點改變速度的大小，進而生成如圖3所示的一系列動態圓，可幫助學生理解“軌跡圓與ab、cd邊界相切時是速度及時間范圍的臨界點”，從而有效解決問題。

二、入射速度的入射點與速度大小已知，其方向變化

模型二：在垂直紙面向里的勻強磁場中，帶正電的粒子在磁場中A點，以相等速度v沿各個方向射入磁場中。

利用幾何畫板改變軌跡圓心O，從而改變速度的方向，追蹤圓弧的軌跡，如圖4所示，不難發現，過定點A的放縮圓有以下規律：（1） 各動態圓均過定點A；（2）各動態圓的運動圓心其所在軌跡為圓；（3）在紙面內，各粒子所能夠到達最遠的區域是以2R為半徑構成的新圓； （4）各動態圓周期T相同。

【例2】（2004年廣東高考卷） 如圖5，真空室內存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小B=0.60 T，磁場內有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16 cm處，有一個點狀的α放射源S，它向各個方向發射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知α粒子的電荷與質量之比[qm=5.0×107 C/kg]，現只考慮在圖紙平面中運動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區域的長度。

分析：帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力可求出粒子的半徑，通過幾何畫板的動態功能，利用旋轉圓法，很容易得出：圓軌跡在左側與ab相切時為粒子能打中板的左側最遠位置，而在右側當S點與ab板間距離恰為軌跡圓的直徑時為能打中板的右側最遠位置。如圖6所示，根據幾何關系，可求出打中ab區域的長度。

點評：本題中左側的臨界值為相切時粒子打中ab板左側最遠位置，很多學生認為右側也是相切時為粒子打中ab板右側最遠位置。然而利用幾何畫板旋轉如圖6所示的O點，及根據幾何畫板的動態功能及追蹤功能，很容易得出如圖6所示的右側兩個特殊位置的圓。只有當過定點S的圓與直線ab的交點與S點的距離為圓的直徑時才是粒子打中ab板右側的最遠位置，這時可再解釋“圓上的兩點最遠距離必為直徑”。這種情境的展示把抽象的空間軌跡運動模型形象化，使學生解決問題事半功倍。

三、入射速度大小與方向已知，其入射點變化

模型三：帶電粒子以大小和方向相同的速度射入有界磁場，但入射點不斷變化。有界磁場的邊界一般為直線邊界和圓形邊界。

如圖7所示，直線右側為垂直向里的勻強磁場，一簇帶正電的粒子以相同的速度平行射入磁場，通過幾何畫板平移圓心，得到如圖7所示的軌跡圓，發現其有以下規律：（1）各動態圓的半徑R相同；（2）圓心在初速度垂直線上，并且離速度入射點的位置為R；（3）圓心的軌跡也為直線。

【例3】（2007年四川高考卷） 如圖8所示，長方形abcd長ad=0.6m，寬ab=0.3m，O、e分別是ad、bc的中點，以ad 為直徑的半圓內有垂直紙面向里的勻強磁場（邊界上無磁場），磁感應強度B=0.25 T.一群不計重力、質量為m=3×10-7 kg、電荷量為q=+2×10-3 C的帶電粒子以速度v=5×l02 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射入磁場區域（ ）。

A.從Od邊射入的粒子，出射點全部分布在Oa邊

B.從aO邊射入的粒子，出射點全部分布在ab邊

C.從Od邊射入的粒子，出射點分布在Oa邊和ab邊

D.從aO邊射入的粒子，出射點分布在ab邊和bc邊

分析：粒子進入磁場后做勻速圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力，先得到軌道半徑，再找出圓心，通過幾何畫板平移圓，確定半徑并分析可能的軌跡，不難得到正確答案為D，如圖9所示。

點評：本題關鍵計算出半徑后找到圓心，分析可能出現的各種軌跡，然后找出射點。課堂中通過幾何畫板，選上如圖9圓心O點在ab邊移動，自動生成如圖9所示動態軌跡。這樣，利用平移圓法，將變化的過程、動態的情境展示在學生面前，較好地幫助學生進行理解。

綜上可知，在物理教學中，恰當、適宜地使用幾何畫板輔助教學，可為學生創設可視化、更有體驗感的教學情境。這種深度融合信息技術資源的教學模式，可推進物理課堂教學的變革，實現信息技術與物理教學的有效整合。

（特約編輯 安 平）