透析三角函數與單位圓結合問題

李翠微

[摘 要]以單位圓為背景的三角函數問題是高考數學考查的重點內容，由于綜合性較強，所以學生學習起來難度較大.為突破這一學習難點，首先研究了運用三角函數解決單位圓問題的方法；接著研究如何采用反向思維，以單位圓為工具解決含有三角函數的不等式證明問題.

[關鍵詞]三角函數；單位圓；高考數學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0021-02

作為高考數學的熱點內容，含有單位圓的解析幾何問題綜合性非常強，這類問題往往以單位圓為背景，再結合三角函數的定義對學生進行考查.然而，學生對三角函數的相關知識掌握得并不理想，所以這類問題往往會成為學生高考數學復習的“攔路虎”.為了幫助學生突破這一學習難點，本文著重研究三角函數與單位圓的結合問題.

一、引入題目——單位圓結合三角函數線

【題目1】（2017年廣西博白縣高考模擬題）如圖1，在直角坐標系[xOy]中，單位圓上有一個動點P，過點P作x軸的垂線，該垂線與射線[y=3x][（x≥0）]相交于點Q，過點P的垂線與x軸交于M.記[∠MOP=α]，且[α∈-π2，π2].

（1）若[sinα=13]，求[cos∠POQ]；

（2）求[△OPQ]面積的最大值.

思路點撥：（1）因為OQ的射線方程是[y=3x]，所以[∠MOQ=π3]，那么[∠POQ=∠MOQ-∠MOP][=π3-α]，由于[sinα=13]，并且[α∈-π2，π2]，可得[cosα=1-sin2α][=223]，所以[cos∠POQ][=cosπ3-α][=cosπ3cosα+sinπ3sinα][ =22+36].

（2）由三角函數和單位圓的關系，可得到[P（cosα，sinα）]，由于OQ的射線方程是[y=3x]，所以[Q]點的坐標為[（cosα，3cosα）]，[S△OPQ=12OM×PQ][=12cosα3cosα-sinα][=123cos2α-sinαcosα][=1232+3cos2α2-12sin2α][=1232+sin（π3-2α）][≤1232+1][=34+12].因為[α∈-π2，π2]，所以當[α=-π12]時，上式中的等號成立，因此[△OPQ]面積的最大值為[34+12].

二、拓展延伸——變式訓練以鞏固提高

【題目2】（2018年廣西博白縣高考模擬題）如圖2所示，在直角坐標系[xOy]中，[∠AOC=α]，且[α∈π6，π2].現將OA按逆時針方向旋轉[π3]，交單位圓于點B.將A、B兩點的坐標分別記為[A（x1，y1）]和[B（x2，y2）].

（1）若[x1=13]，求[x2]；

（2）過A點作AC垂直于x軸，過B點作BD垂直于x軸，若三角形AOC的面積是三角形BOD的面積的兩倍，求出此時角[α]的值.

思路點撥：本題中利用點的坐標來量化三角形的邊長，再結合三角函數的定義來解決問題.第（1）問中的[x2=cosα+π3]，將三角函數展開之后易得[x2=1-266].對于第（2）問，分別用含有[α]的三角函數表示出兩個三角形的值，然后得到關于[α]的方程，即可求出[α]的值，解得[α=π4].

三、反思小結——承接上文，引出下文

以上兩道高考模擬題都是以單位圓為背景，再結合三角函數的定義來解題，這種命題形式已經成為高考的熱點.而在高考復習過程中，應當抓住問題的本質，注重思維的過程.在教材中，三角函數的定義是通過單位圓來引出的，三角函數與單位圓之間有著千絲萬縷的聯系.部分情況下，都是運用三角函數知識來解決單位圓問題，但是數學問題的多變性促使我們產生反向思考：是否能以單位圓為工具來解決三角函數問題？答案是肯定的.對于三角函數不等式證明問題，通過構造函數往往無法解決，而引入單位圓之后，復雜的問題也就可以迎刃而解.

四、發散思維——以單位圓為工具證明三角函數不等式問題

【題目3】（2018年廣西博白縣市高考一模試題）證明[tanx2tanx1>x2x1 ][0

思路點撥：根據題目已知條件，畫出如圖3所示的圖形，設[∠AOE=x1]，[∠AOB=x2]，已知OE交單位圓于F，過F作GD垂直于OA，垂足為D，交OB于G.因為OA為單位圓的半徑，所以[OA=1]，那么[tanx1=AE]，[tanx2=AB]，所以[tanx2tanx1=ABAE][=1+BEAE][=1+GFDF]，對于△[OGF]和△[OFD]，它們的高相等，所以底邊的長度之比等于面積之比，所以[GFDF=S△OGFS△OFD]，根據圖形，容易得出[S△OGFS△OFD>S扇形OCFS扇形OFA][=x2-x1x1]，所以[GFDF>x2x1-1]，則[1+GFDF>x2x1]，所以[tanx2tanx1>x2x1].

變式訓練：證明[tanxx>xsinx][（0

結構提示：對于此題，如果按照常規思路，通過構造新的函數來判斷函數的單調性，然后證明不等式會非常麻煩.如果能結合上題的解法，將所要證明的不等式轉化到單位圓中，就可以化繁為簡，快速解決問題.圖4即為本題所畫出的圖形.

從以上幾道典型例題可以看出，以單位圓為背景的三角函數問題綜合性非常強，是高考數學中考查的重點內容.單位圓與三角函數聯系的紐帶就是三角函數的定義，通過將點的坐標量化為邊長之后，再結合幾何知識，可以產生解題的新思路.對于含有三角函數的不等式證明問題，應該聯想到采用單位圓來進行證明，通過單位圓與三角函數的結合可大大提高解題效率.

（責任編輯 黃春香）