透析三角函數(shù)與單位圓結(jié)合問(wèn)題

李翠微

[摘 要]以單位圓為背景的三角函數(shù)問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)內(nèi)容，由于綜合性較強(qiáng)，所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)難度較大.為突破這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，首先研究了運(yùn)用三角函數(shù)解決單位圓問(wèn)題的方法；接著研究如何采用反向思維，以單位圓為工具解決含有三角函數(shù)的不等式證明問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞]三角函數(shù)；單位圓；高考數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）32-0021-02

作為高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)內(nèi)容，含有單位圓的解析幾何問(wèn)題綜合性非常強(qiáng)，這類問(wèn)題往往以單位圓為背景，再結(jié)合三角函數(shù)的定義對(duì)學(xué)生進(jìn)行考查.然而，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)掌握得并不理想，所以這類問(wèn)題往往會(huì)成為學(xué)生高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的“攔路虎”.為了幫助學(xué)生突破這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，本文著重研究三角函數(shù)與單位圓的結(jié)合問(wèn)題.

一、引入題目——單位圓結(jié)合三角函數(shù)線

【題目1】（2017年廣西博白縣高考模擬題）如圖1，在直角坐標(biāo)系[xOy]中，單位圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，該垂線與射線[y=3x][（x≥0）]相交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P的垂線與x軸交于M.記[∠MOP=α]，且[α∈-π2，π2].

（1）若[sinα=13]，求[cos∠POQ]；

（2）求[△OPQ]面積的最大值.

思路點(diǎn)撥：（1）因?yàn)镺Q的射線方程是[y=3x]，所以[∠MOQ=π3]，那么[∠POQ=∠MOQ-∠MOP][=π3-α]，由于[sinα=13]，并且[α∈-π2，π2]，可得[cosα=1-sin2α][=223]，所以[cos∠POQ][=cosπ3-α][=cosπ3cosα+sinπ3sinα][ =22+36].

（2）由三角函數(shù)和單位圓的關(guān)系，可得到[P（cosα，sinα）]，由于OQ的射線方程是[y=3x]，所以[Q]點(diǎn)的坐標(biāo)為[（cosα，3cosα）]，[S△OPQ=12OM×PQ][=12cosα3cosα-sinα][=123cos2α-sinαcosα][=1232+3cos2α2-12sin2α][=1232+sin（π3-2α）][≤1232+1][=34+12].因?yàn)閇α∈-π2，π2]，所以當(dāng)[α=-π12]時(shí)，上式中的等號(hào)成立，因此[△OPQ]面積的最大值為[34+12].

二、拓展延伸——變式訓(xùn)練以鞏固提高

【題目2】（2018年廣西博白縣高考模擬題）如圖2所示，在直角坐標(biāo)系[xOy]中，[∠AOC=α]，且[α∈π6，π2].現(xiàn)將OA按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)[π3]，交單位圓于點(diǎn)B.將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為[A（x1，y1）]和[B（x2，y2）].

（1）若[x1=13]，求[x2]；

（2）過(guò)A點(diǎn)作AC垂直于x軸，過(guò)B點(diǎn)作BD垂直于x軸，若三角形AOC的面積是三角形BOD的面積的兩倍，求出此時(shí)角[α]的值.

思路點(diǎn)撥：本題中利用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)量化三角形的邊長(zhǎng)，再結(jié)合三角函數(shù)的定義來(lái)解決問(wèn)題.第（1）問(wèn)中的[x2=cosα+π3]，將三角函數(shù)展開(kāi)之后易得[x2=1-266].對(duì)于第（2）問(wèn)，分別用含有[α]的三角函數(shù)表示出兩個(gè)三角形的值，然后得到關(guān)于[α]的方程，即可求出[α]的值，解得[α=π4].

三、反思小結(jié)——承接上文，引出下文

以上兩道高考模擬題都是以單位圓為背景，再結(jié)合三角函數(shù)的定義來(lái)解題，這種命題形式已經(jīng)成為高考的熱點(diǎn).而在高考復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)抓住問(wèn)題的本質(zhì)，注重思維的過(guò)程.在教材中，三角函數(shù)的定義是通過(guò)單位圓來(lái)引出的，三角函數(shù)與單位圓之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.部分情況下，都是運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)解決單位圓問(wèn)題，但是數(shù)學(xué)問(wèn)題的多變性促使我們產(chǎn)生反向思考：是否能以單位圓為工具來(lái)解決三角函數(shù)問(wèn)題？答案是肯定的.對(duì)于三角函數(shù)不等式證明問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)往往無(wú)法解決，而引入單位圓之后，復(fù)雜的問(wèn)題也就可以迎刃而解.

四、發(fā)散思維——以單位圓為工具證明三角函數(shù)不等式問(wèn)題

【題目3】（2018年廣西博白縣市高考一模試題）證明[tanx2tanx1>x2x1 ][0

思路點(diǎn)撥：根據(jù)題目已知條件，畫(huà)出如圖3所示的圖形，設(shè)[∠AOE=x1]，[∠AOB=x2]，已知OE交單位圓于F，過(guò)F作GD垂直于OA，垂足為D，交OB于G.因?yàn)镺A為單位圓的半徑，所以[OA=1]，那么[tanx1=AE]，[tanx2=AB]，所以[tanx2tanx1=ABAE][=1+BEAE][=1+GFDF]，對(duì)于△[OGF]和△[OFD]，它們的高相等，所以底邊的長(zhǎng)度之比等于面積之比，所以[GFDF=S△OGFS△OFD]，根據(jù)圖形，容易得出[S△OGFS△OFD>S扇形OCFS扇形OFA][=x2-x1x1]，所以[GFDF>x2x1-1]，則[1+GFDF>x2x1]，所以[tanx2tanx1>x2x1].

變式訓(xùn)練：證明[tanxx>xsinx][（0

結(jié)構(gòu)提示：對(duì)于此題，如果按照常規(guī)思路，通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后證明不等式會(huì)非常麻煩.如果能結(jié)合上題的解法，將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化到單位圓中，就可以化繁為簡(jiǎn)，快速解決問(wèn)題.圖4即為本題所畫(huà)出的圖形.

從以上幾道典型例題可以看出，以單位圓為背景的三角函數(shù)問(wèn)題綜合性非常強(qiáng)，是高考數(shù)學(xué)中考查的重點(diǎn)內(nèi)容.單位圓與三角函數(shù)聯(lián)系的紐帶就是三角函數(shù)的定義，通過(guò)將點(diǎn)的坐標(biāo)量化為邊長(zhǎng)之后，再結(jié)合幾何知識(shí)，可以產(chǎn)生解題的新思路.對(duì)于含有三角函數(shù)的不等式證明問(wèn)題，應(yīng)該聯(lián)想到采用單位圓來(lái)進(jìn)行證明，通過(guò)單位圓與三角函數(shù)的結(jié)合可大大提高解題效率.

（責(zé)任編輯 黃春香）