中考數學操作型問題例析

曹季鋒

[摘 要]近年來，操作型問題已成為中考數學的常考題.操作型問題一般包括作圖、分割組合、折疊和移動等幾種.轉化思想可以幫助我們有效解決此類問題.

[關鍵詞]中考；操作型問題；轉化思想

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0015-02

一、作圖類

[例1]如圖1，兩條公路OM和ON相交于O點，在兩公路之間，有兩個村莊A和B.現要在∠MON的內部修建一個自來水站P，使P到OM、ON的距離相等且PA=PB，用尺規作出自來水站P的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）.

解：畫圖略.提示：作∠MON的平分線OC，再作AB的垂直平分線DE與OC相交于點P，P點就是自來水站的位置.

說明：這類題通過依據圖形的變換（軸對稱、平移、旋轉等）及點軌跡的性質（如線段垂直平分線和角平分線的性質等）來作圖.

二、分割組合類

1.等分分割類問題

[例2]張店某村的一塊呈正六邊形的田地（如圖2），現平均等分給六戶村民種花，要求在這塊地上設計圖案，把這塊土地6等分，請給他們設計等分圖形（不少于兩種方案）.

分析：正六邊形是特殊的幾何圖形，它既有對稱軸又有對稱中心，應考慮以正六邊形的6條對稱軸和正六邊形的中心為轉化方向來進行分割，這是解決問題的關鍵.

解：答案不唯一，可在圖3中任選兩種.

說明：與上例類似的還有將平行四邊形、矩形等四等分等.從上例解答中可知，解決這種問題時，應考慮被分割圖形的特殊性，從邊、角、對角線、頂點等角度出發，通過想象，設計出合理圖案.

2.不等分分割類問題

[例3]如圖4，在等腰三角形中，BC為底邊，頂角為36°，類比圖4①，請你再想出另外兩種分法，將原等腰三角形分割成3個小的等腰三角形.在備用圖②、圖③中進行分割，不要求寫具體作法，也不必進行證明，分割后在圖中寫出所得的等腰三角形各內角的度數.

解：答案不唯一 ，可任選圖5中的兩個答案.

說明：此類分割應充分利用被分割三角形的特殊性（如等腰三角形、等邊三角形等），抓住角、邊這些特殊量通過轉化作角平分線、平行線、中位線等來進行不等分分割.

3.圖形組合類問題（裁剪類）

[例4]把一個正方形沿著一條對角線裁剪得到等腰直角△ABC，再沿斜邊上的高CD裁剪，得到兩個直角三角形，△ACD與△BCD能拼成一個平行四邊形A′BCD（如圖6①）.（以下探究過程中不必寫畫法和證明）

探究一：

（1）說一說.四邊形A′BCD是平行四邊形的理由_______________；

（2）畫一畫.用如上方法進行裁剪后，請在備用圖②中再畫一個與圖①形狀或位置不同的平行四邊形.

探究二：請你再用其他裁剪方法分割等腰Rt△ACB，把分割后所得的兩部分拼成不同類型的特殊四邊形.

（1）想一想.得到不同的特殊四邊形有 ，各自對應的裁剪線分別是 ；

（2）拼一拼.在圖③中拼出一個你得到的特殊四邊形.

解：可以從平行四邊形的判定定理回答，畫圖可以讓另一直角邊或斜邊重合，如圖7.

說明：解決這類問題關鍵在于利用不同位置的特殊線段或所在射線、直線來獲得特殊的四邊形.

三、圖形折疊類

[例5]把長方形ABCD沿著MN對折，如圖8①，使B點落在對折線MN上，折痕為AE，B′恰好落在MN上，且點B和B′關于AE對稱，所得△AB′E為直角三角形如圖②；沿EB′所在直線對折，EF為折痕線如圖③；折疊后的圖形全部展開如圖④，請你試探究：

（1）△AEF是________三角形，并說明理由；

（2）把任意一個長方形按照以上方法折疊，是否都能得到同樣三角形，并證明.

四、圖形移動類

[例6]如圖9，點P在正方形ABCD邊CD上運動（且不與C、D重合），連接BP，過P點作PE⊥BP，交AD或BC的延長線于點E.

試問：（1）哪一個三角形與△PBC相似？并證明你的結論；

（2）當點P運動到CD的中點時，你找到的三角形與△BPC的周長比是多少？

解：（1）如圖10①和②，則△EPD∽△PBC、△EPC∽△PBC、△EBP∽△PBC.證明：在△PDE和△BCP中，∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠DPE=∠CBP，又∠PDE=∠BCP=90°，∴△EPD∽△PBC.同理可證△EPC∽△PBC和△EBP∽△PBC.

（2）相似三角形周長之比等于相似三角形對應邊之比，所得三角形與△BCP的周長比是1∶2或[5]∶2.

（責任編輯 黃桂堅）