量子隧穿效應的初步研究

李欣玥

【摘要】當我在書中接觸到量子力學的時候，它向我展示了上帝是如何擲骰子的。通過自學大學知識，我慢慢了解到一個事實，那就是：在看上去確定的事件中卻有著概率，表面看上去不可能發生的事，卻總有微小的概率發生。利用薛定諤方程和波函數的知識，我建立了一個粒子翻越勢壘的模型，求解出了粒子的透射系數T，當我假設粒子的能量達不到翻越勢壘所需的能量時，我發現粒子仍有一定的概率“翻過去”，這個與經典物理不一樣的結論使我十分驚訝。

【關鍵詞】波函數 ?薛定諤方程 ?量子隧穿

【中圖分類號】O413.1 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0159-02

1.前言

我通過一本科普書得知了量子力學這門學科，它的不確定性深深吸引著我。其中，我讀到一個粒子在翻越勢壘時，竟然存在著能否翻越的“概率”改變了我對微觀世界以往的認知。因此，我學習了薛定諤方程，求解了一維勢壘，大致解釋了它的概率問題。

2.基礎知識

想要求解這個問題，需要學習量子力學知識。

首先在量子力學中，對物質的描述采用波函數？追（x，y，z，t]，它定量的描述了物質波，是物質波的統計解釋，并證明了物質波是一種概率波。對于波函數有如下的一些解釋：

（1）？追是概率幅

（2）|？追|2=？追？鄢？追是概率密度（？鄢代表復數共軛）

（3）一維定態問題中|？追（x）|2dx是在x附近dx間隔內發現粒子的概率

（4）一維定態問題中■|？追（x）|2dx是在x1到x2間隔內發現粒子的概率

以上便是物理學家波恩對波函數的解釋，這種解釋也叫作哥本哈根解釋（Copenhagen interpretation）。這種解釋也賦予了波函數如下的基本性質：

（1）波函數是單值的，連續的，有限的

（2）|？追（x）|2dx和C|？追（x）|2dx給予波函數同樣的相對概率（C為常數），因此一般我們可以采用歸一化條件，如在一維定態問題中要求？蘩|？追（x）|2dx=1

（3）波函數滿足疊加原因，如果？追1，？追2是系統的可能態，則其線性組合？追=C1？追1+C2？追2也是系統的可能態

其次，便是基本的運動方程——薛定諤方程，如下式：

i？攸■？追=-■？犖2？追+U？追

其中，？犖2=■+■+■，是拉普拉斯算子（Laplace Operator），拉普拉斯算子在這里是三維歐幾里德空間中的一個二階微分算子。

薛定諤方程就像牛頓定律在經典力學中的作用一樣，它為量子力學奠定了基礎，其正確性只能靠實驗來檢驗。它是將物質波的概念和波動方程相結合建立的二階偏微分方程，可描述微觀粒子的運動，每個微觀系統都有一個相應的薛定諤方程式，通過解方程可得到波函數的具體形式以及對應的能量。

通過學習大學的知識，我知道了如果能量是不含時的，薛定諤方程可以分離變量：

令？追（x，y，z，t）=？漬（x，y，z）f（t），代入薛定諤方程可以得到：

時間上

f（t）=Ce■

空間上

-■？犖2？漬（x，y，z）+U（x，y，z）？漬（x，y，z）=E？漬（x，y，z）

其中，常數E就是系統的能量，上式便是定態的薛定諤方程。

3.建模與求解

為了研究量子隧穿效應，這是一個一維問題，我們假設一個粒子質量為m，能量為E，從無限遠處沿x軸從左往右入射，它會經過一個勢壘的勢場，高度為U0，寬度為a，即

U（x）=U0，0

代入2.中得到的定態薛定諤方程，得

-■■？漬（x）=E？漬（x） ?x≤0，x≥a

-■■？漬（x）+U0？漬（x）=E？漬（x） ?0

整理可以得到：

■？漬（x）+■？漬（x）=0 ? x≤0，x≥a

■？漬（x）+■？漬（x）=0 ? 0

這是標準的二階微分方程，我們可以得到解如下：

？漬（x）=Ae■+Be■ ? x<0Ce■+De■ ? 00

其中k12=■，k22=■，而A，B，C，D，F，G為六個待定的系數。

我們已知eix為從左往右的波，e-ix為從右往左的波，因為粒子最初從x軸負半軸入射，那么在勢壘的右邊沒有從右往左的波，所以G=0。同時，由2.1中的哥本哈根解釋，波函數在x=0和x=a的位置應該連續，則

A+B=C+D

Ce■+De■=Fe■

波函數在x=0和x=a的位置的一階導數應該連續，則

Ak1-Bk1=Ck2-Dk2

Ck2e■-Dk2e■=Fk1e■

因此，我們得到了4個獨立的方程，其中A，B，C，D，F為5個未知數，未知數個數比方程多一個，因此我們可以假設F為已知量，則可以得到其他四個未知數的值，求解結果如下：

A=ch（k2a）■sh（k2a）e■F

B=■sh（k2a）e■F

C=■e■F

D=■e■F

這樣我們便求解出了？漬（x）。

4.分析

在這個問題中，當粒子翻越勢壘時，粒子可以翻越勢壘到達x大于a的區域，但有一部分在x小于等于a的區域被反彈回去，一部分沒有被反彈，因此我們可以定義一個投射系數T，如下式：

T=■

由3.的計算可得：

T■=■

如果滿足ik2a≥1，E

T≈e■

分析我們求得的T值，我們可以發現，E

5.總結

為了求解一維勢壘，我學習了波函數，基本運動公式，以及定態薛定諤方程-■？犖2？漬（x，y，z）+U（x，y，z）？漬（x，y，z）=E？漬（x，y，z），得知了波函數的具體形式和對應的能量。之后又通過建模，假設了一個質量為M，能量為E的粒子將要翻越勢壘的情況，求得了它在E

參考文獻：

[1]盧德馨.大學物理學[M]. 北京：高等教育出版社， 1998.