泰勒公式的證明及應用

李晟威

【摘要】本篇論文主要講述了泰勒公式的發展歷程，并且通過柯西中值定理來對泰勒公式進行推導。隨后結合實際例子來說明泰勒公式在數值計算以及極限推導中的應用。最后探究了泰勒公式演化出牛頓迭代法數值計算方法和計算邏輯。

【關鍵詞】泰勒公式 ?導數 ?牛頓迭代法 ?羅爾中值定理 ?拉格朗日中值定理 ?柯西中值定理

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0129-02

當我們首次接觸到泰勒公式及其定理時，我們會感覺到它的磅礴大氣，但其實究其本質，這是一種讓我們在實際問題中，用多項式函數去逼近光滑函數，并得到誤差的方法。那么這個偉大的公式是如何一步步被我們得到，以及進行運用的呢？

一、泰勒公式的發展

泰勒公式是以18世紀早期英國數學家泰勒（Brook Taylor）命名。1708年，23歲的泰勒得到了“振動中心問題”的解，引起了人們的注意，在這個工作中他用了牛頓的瞬的記號。1717年，泰勒以泰勒定理求解了數值方程。

本質來講，泰勒公式是將函數用多項式來進行表示。并且通過函數在某點的信息來描述點附近取值的公式。如果函數是光滑的情況下，泰勒公式可以使用該點附近的各階導數值做系數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值。并且泰勒公式中通過柯西中值定理給出了這個多項式和實際的函數值之間的偏差。在下面，我們將會對泰勒公式進行詳細證明以及對其實際應用進行探討。

二、泰勒公式及其證明

定理：如果函數f（x）在x0的某個領域U（x0）內具有（n+1）階導數，那么對任意x∈U（x0），有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+Rn（x）

其中Rn（x）=■（x-x0）n+1，α為x0與x之間的某個值。

在證明泰勒公式的定理前，首先要介紹柯西中值定理的推導，而柯西中值定理可由羅爾中值定理推出，使用的是構造對應函數求導的方法，所以證明羅爾定理為第一步。

羅爾中值定理：如果函數f（x）滿足：（1）在閉區間[a，b]上連續;（2）在開區間（a，b）內可導;（3）f（a）=f（b）。那么在開區間（a，b）內至少存在一點β∈（a，b），使得f′（β）=0。

證明：如果？坌x∈（a，b），都有f（x）=f（a），那么有？坌x∈（a，b），f′（x）=0，命題得證。如果？堝x∈（a，b），使得f（x）≠f（a），那么存在某一點β，在該點函數f（x）取得最大值或最小值，并且這個不是a或者b，而在這個最值點上，導數為0。因此，必有f′（β）=0，羅爾中值定理得證。

柯西中值定理：如果函數f（x）及F（x）滿足：（1）在閉區間[a，b]上連續;（2）在開區間（a，b）內可導;（3）對任意x∈（a，b），F′（x）≠0。那么在（a，b）內至少有一點ξ，使等式■=■成立。

下面我們開始證明泰勒公式，

首先令Pn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n，有：Rn（x）=f（x）-Pn（x）。構造輔助函數g（ω）=f（x）-（f（ω）+f′（ω）（x-ω）+■（x-ω）2+…+■（x-ω）n）。

我們需要得到Rn（x）的表達式，也要想辦法運用柯西中值定理。

假設ω在[x，x0]之間，g（ω）則在[x，x0]上連續，并由上式可知g（x0）=Rn（x），且g（x）=0。此時要求出g（x0），先對g（ω）求導，而此時式中出現了n階導，由導數的算法得知，我們需要假設f（x）在定義域內n+1階可導

g′（ω）=-f（ω）-f′（ω）（x-ω）+f′（ω）-■（x-ω）2-f′（ω）（x-ω）-…-■（x-ω）n+■（x-ω）n-1

找到規律：從第一項起，負項和正項抵消，最終g′（ω）=

-■（x-ω）n。

另設函數h（x）=（x-x0）n+1，可以得到h（x0）=0，h′（ω）=-（n-1）（x-ω）n。根據柯西中值定理可知g（x0）=g（x）-■[h（x0）-h（x）]=■（x-x0）n+1，即為Rn（x）=■（x-x0）n+1。

也即是f（x）=Pn（x）+Rn（x）得證！

三、泰勒公式的應用

泰勒公式是用多項式來對函數進行逼近，所以在數值計算以及函數近似的方面都有著極其重要的用處。

1.計算e0.001（精確度為10-7）

在計算上述式子時，是無法直接得出答案的，這時就可以使用泰勒公式可以得到：ex=1+■+■+R3（x），-∞

而我們知道R3（x）已經在10-9的級數范圍，所以可以知道

e0.001≈1+■+■=1.0010005

2.計算極限■■

根據泰勒公式可以知道：■■=■■=■■=1

3.數值算法：牛頓迭代法

當泰勒公式運用在物理領域時，它又有了新的名字：牛頓迭代法。 而牛頓迭代法正是將局部線性化的方法用于求解方程，該方法根據一個根的猜測值x0作為初始近似值，當我們不斷地使用泰勒級數展式的前兩項作為某個函數f（x）的近似表達式，由于該表達式是一個線性函數，所以我們可以用該表達式來代替f（x）=0中的f（x）的近似解xn，該近似解會越來越逼近我們所要求的根的值。

我們根據定義舉出一個例子：假設方程的解為x？鄢，且x？鄢在x0的附近。那么，函數f（x）在點x0處使用第一次泰勒級數展式，即線性表達式為f（x）≈f（x0）+（x-x0）f′（x0），通過上述方法代換可得x1=x0-■，該x1就會比x0更接近于x？鄢，從而達到我們的目的。由此就衍生出了著名的牛頓迭代公式：xn+1=xn-■，（n=0，1，2…）

四、總結

在本篇論文中，主要探究了泰勒公式的推導過程，從特例羅爾定理走向普遍性的柯西中值定理，最后演化為泰勒公式。通過這篇論文，我了解到了數學的進步都是通過一次次的試探和科學的計算方法累積而成，絕非是一眨眼的功夫，而這些累積出來的成果，化為了一個個優美的公式，帶給熱愛數學的人無窮的精神財富，所以在平日的生活中，也需要有一顆善于推導，善于發現的心。

參考文獻：

[1]伍勝健.北京大學數學教學系列叢書：數學分析（第一冊）[M].北京大學出版社， 2015.