淺談幾種主要概率分布的近似關系

劉劭琮

【摘要】我們針對常見的超幾何分布和二項分布，通過極限理論證明超幾何分布近似于二項分布，二項分布近似于泊松分布，而在一定條件下二項分布和泊松分布都會近似于正態分布，通過這些近似關系，我們在合適的條件下可以有效的估計出一些較難計算的概率。

【關鍵詞】超幾何分布 ?二項分布 ?泊松分布 ?正態分布 ?近似

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0126-01

1.概率理論基礎

1.1序列極限的定義

設{xn}是一個序列，若存在常數a∈R，使得？坌ε>0，？堝N∈N，當n>N時，有xn-a<ε，則稱{xn}收斂，極限為a。

1.2四種概率分布的定義

二項分布：在相同條件下做n次獨立試驗，每次試驗只有兩種結果A或B，其中p=P（A），1-p=P（B），則在n次獨立試驗中出現A的計數k是一個隨機變量X，且P（X=k）=C■■p■（1-p）■，（k=0，1，2，…，n），則X稱服從二項分布，記為X～b（n，p），X的期望為np。

超幾何分布：設有N件產品，M件次品，從中抽取n件產品，出現Y件次品的概率為超幾何分布P（Y=m）=■（m≤maxn，M），Y的期望為n■，事實上超幾何分布與二項分布的唯一區別就在于二項分布是有放回的，超幾何分布是無放回。我們也可以將Y看成n個服從0-1分布隨機變量Yi（i=1，…，n）的和，這里P（Yi=1）=■，但是當i≠j時，Pi與Pj是不獨立的。

泊松分布：廣泛用于社會生活和物理科學中，比如記錄網站訪問次數，公共汽車站到來乘客數量，放射性分裂落入某一區域的粒子數量，都服從泊松分布，隨機變量Z服從泊松分布P（λ），則P（Z=k）=■e■，（k=0，1，…）。

正態分布：自然界應用最廣泛的分布，很多現象都呈現正態分布的形態，大部分分布最后的極限都是正態分布，隨機變量ξ服從正態分布N（μ，σ■），對應的密度函數為p（x）=■e■，-∞

2.分布之間的近似關系

2.1二項式分布近似超幾何分布

定理1：當產品數量足夠大，且次品率穩定，即■■=p為常數，則■■=C■■p■（1-p）■。

證明：■■

=■■■■

=■C■■■■…■■…■

=C■■p■（1-p）■

2.2泊松分布近似二項分布

在實際應用中，我們常遇到n很大，p很小（一般p<0.1）的伯努利分布，而乘積np的大小適中，此時可以用泊松分布逼近二項分布，而泊松分布的計算形式較為簡單。

定理2：在獨立試驗中，以pn表示結果A出現的概率，與試驗總數n有關，如果λn=npn→λ，則當n→∞時，C■■p■■（1-p■）■→■e■。

證明：C■■p■■（1-p■）■=■■■1-■■=■1-■1-■…1-■1-■■，當k固定時■λ■■=λ■，且■1-■■=■1-■■=e■，■1-■1-■…1-■=1，所以■C■■p■■（1-p■）■=■e■。

2.3正態分布近似二項分布

定理3：對于隨機變量Xn～b（n，p）（0

通過上述公式我們在n很大的時候可以計算p{t1≤xn≤t2}，證明可以參見文獻[3]。

2.4正態分布逼近泊松分布

定理4：對任意正實數t，有■■■=■■e■dx=φ（t）

其中β=■，證明參見文獻[3]。

3.分布近似關系的應用

事實上只有在λ很大的情形正態分布才能很好的逼近泊松分布，所以當n很大，而p不大也不小的時候，λ=np較大，此時正態分布能夠很好的近似泊松分布。但是泊松分布近似二項分布則需要p很小，此時即使n不是很大也可以近似的很好，但是在這種情況下正態分布很難近似泊松分布，所以也很難近似二項分布。

參考文獻：

[1]傅軍和.二項分布和泊松分布的剖析[J].統計教育，2006（10）：10-11.

[2]付安民.超幾何分布與二項分布的有機聯系[J].岳陽師范學院學報（自然科學版），2003（01）：46-48.

[3]于洋.淺析二項分布、泊松分布和正態分布之間的關系[J].企業科技與發展，2008（20）：108-110.