利用導數運算法則和單調性構造函數解題

孫久濤

摘 要：我們經常遇到一類小題是導數壓軸，其解法歸根結底是利用四則運算法則或者利用函數的單調性構造函數、其根本是我們比較熟悉的乘法、除法求導法則。

關鍵詞：函數 運算法則

1.=+

2.=

近幾年的練習、高考題頻頻的出現，凸顯了此類題目的炙熱程度，實質上就是導數運算法則的形式的逆用、體現了題根源于教材。高中階段常用模型如下：

（1）==+=+

（2）===

（3）=

=+

=+

=

（4）=

=

=

=

（5）=

=+

=

（6）=

=

=

一、利用函數求導的四則運算構造函數

1.設函數是奇函數的導函數，=，當時，-，則使得成立的的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

答案：A

2.設，分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時+，且=，則不等式的解集（ ）

A. B.

C. D.

答案：C

3.已知為定義在上的可導函數，對于恒成立，且e為自然對數的底數

A.;

B.=;

C.;

D.與大小不確定;答案：A

4.已知函數是偶函數，是它的導函數，當時，+恒成立，=，則不等式的解集為.

解：設=

=+

=+

由=

=

==為奇函數，其圖像關于原點對稱當時，+在上單調遞減，

===

5.定義在上的函數可導，且恒有成立，則（ ）

A.;B.;

C.;D.答案：D

6.設函數是定義在上的可導函數，其導函數為，且有+。

則不等式的解集為（ ）

A.;B.;

C.;D.

答案：C

7.已知定義在上的函數，滿足恒成立，且=（為自然對數的底數）則下列結論正確的是（ ）

A.=;B.;

C.;D.

答案：C

二、利用函數單調性構造函數

1.已知上的奇函數滿足，

則不等式+的解集為.

解：設=--

則=+-+

再設=-+，

則=，當時即，在遞減，在遞增。

=時，==在遞增，而=--=，的解集為，

即+的解集為。

2.已知定義在上的函數，滿足+恒成立，且=（為自然對數的底數）求不等式-的解集。

解：不等式--

設=-，

則=

在上單調遞增，且=-=，

解集為

通過以上實例我們發現利用求導運算法則和利用單調性構造函數有異曲同工之處，我們做出以下總結性的解法足以應對此類題目

（1）解不等式，可以直接構造新函數：

=-，之后再對求導

（2）由+可以直接構造函數：

=，之后再對求導

（3）由，可以利用其結構特征、直接構造新函數=，之后再對求導

（4）由-，可以直接構造新函數：

=，之后再對求導

（5）由-，可以直接構造新函數：

=，之后再對求導

（6）由+，可以直接構造新函數：

=，之后再對求導

（7）由-，可以直接構造新函數：

=，之后再對求導

我們將上面的幾種結構重新梳理一下，可以發現模型實質為==。和=，=，的形式。

（8）對于+的情況：可設函數：

=，之后再對求導。