利用軸對(duì)稱求最短距離的幾點(diǎn)思考

摘要：最短距離，這類問(wèn)題出現(xiàn)的試題，內(nèi)容多樣、綜合性高、方法巧妙、與各類知識(shí)點(diǎn)有很好的結(jié)合點(diǎn)。軸對(duì)稱在解決最短距離問(wèn)題中有著重要的作用。本文就軸對(duì)稱的一些題型的變式進(jìn)行歸納整理，并將軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)巧妙融合于其他知識(shí)點(diǎn)，以此加深學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱知識(shí)的理解，同時(shí)，學(xué)生能夠意識(shí)到軸對(duì)稱的數(shù)學(xué)意義，有利于循序漸進(jìn)的提升學(xué)生在軸對(duì)稱方面的學(xué)習(xí)能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；最短距離；軸對(duì)稱；能力

生活中，許多圖形具備軸對(duì)稱的特征，軸對(duì)稱除了常運(yùn)用于生活實(shí)際，還是解決數(shù)學(xué)中“最短距離”的主要“利器”之一。運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)解決最短距離問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)方法技能的掌握、數(shù)學(xué)思想有著比較綜合的要求，這也符合新課改對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出的基本需要，充分滿足學(xué)生學(xué)習(xí)需求。學(xué)習(xí)者實(shí)際學(xué)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)做好充分準(zhǔn)備工作，即“欲善其事，必利其器”。選用適合的解題工具，能夠提高教學(xué)效率，促使學(xué)生根據(jù)自我學(xué)習(xí)情況掌握有效的解題方法，探究這一論題的過(guò)程中，本文通過(guò)舉例的方式予以分析。

人教版針對(duì)本文所探究的數(shù)學(xué)問(wèn)題這樣介紹：八年級(jí)上學(xué)期12.2作軸對(duì)稱圖探究：燃?xì)夤艿纋緊鄰兩座小鎮(zhèn)，分別將其命名為A和B，為了實(shí)現(xiàn)良好的供氣效果，務(wù)必選擇合理位置開展泵站修建活動(dòng)，與此同時(shí)，還應(yīng)具體掌握泵站維修位置，確保燃?xì)廨斔途嚯x和維修距離達(dá)到最短，具體分析表現(xiàn)為：我們知道，如果點(diǎn)A，B分別在直線兩側(cè)，那么兩點(diǎn)之間，線段最短，直接連接AB就可以了，現(xiàn)在解決的關(guān)鍵在于A，B在直線的同側(cè)，怎樣把它們轉(zhuǎn)化到直線兩側(cè)，問(wèn)題就得到解決。如果作出點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A1，那么對(duì)稱軸上的點(diǎn)到點(diǎn)A，A1的距離相同，將直線作為點(diǎn)A的對(duì)稱軸，對(duì)其設(shè)置相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)，將設(shè)置完成的對(duì)稱點(diǎn)命名為A1，這時(shí)所修建泵站的最短距離能夠準(zhǔn)確確定，應(yīng)用上述“兩點(diǎn)之間，直線最短”的理論知識(shí)點(diǎn)為依據(jù)，尋找到直線和A1B間的交匯點(diǎn)即可。

具體操作如下圖所示，根據(jù)上述分析過(guò)程，結(jié)合示意圖求解最短距離。

理由：如圖，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知PA=PA1，∴PA+PB=PA1+PB=BA1。

如果另外任選異于點(diǎn)P的點(diǎn)P1，

連接P1A、P1A1、P1B，則有P1A=P1A1。

在△P1A1B中，P1A1+P1B>A1B，即P1A+PB>A1B，

∴PA+PB最短。

從中能夠看出，分析最短距離的過(guò)程中，應(yīng)用軸對(duì)稱思想，并在這一數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下踐行軸對(duì)稱行為，能夠在短時(shí)間內(nèi)找到解決實(shí)際問(wèn)題的有效方法，并且現(xiàn)實(shí)問(wèn)題能夠通過(guò)理論知識(shí)應(yīng)用的方式高效解決，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維拓展有重要意義，同時(shí)，學(xué)生能夠意識(shí)到軸對(duì)稱知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用效果，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。下文進(jìn)行了變式分析，即最短距離問(wèn)題無(wú)論以何種形式呈現(xiàn)，均能應(yīng)用軸對(duì)稱知識(shí)高效解決。

一、 基本變式

設(shè)置問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)圖形對(duì)稱特性進(jìn)行變式問(wèn)題設(shè)置。

（1）正方形ABCD，該圖形AB邊中點(diǎn)用E表示，AB=4，對(duì)角線AC存在動(dòng)點(diǎn)P，則PB+PE的最小值是。

（2）⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠BOC=30°， P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是。

（3）∠AOB=30°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP=8，Q、R分別是OA、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△PQR周長(zhǎng)的最小值是。

解：（1）B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接DE交AC于P，此時(shí)PB+PE的值最小，最小值為25。

（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)A1，由圓的對(duì)稱性可知，A與A1關(guān)于直線OB對(duì)稱，連接A1C交OB于P，則PA+PC=PA1+PC=A1C最小。

連接AC，AA1是⊙O的直徑，則∠ACA1=90°。

又∠BOC=30°，OA⊥OB，

∴∠AOC=60°，∠AA1C=30°，

∴AC=2，∴A′C=42-22=23，

∴PA+PC的最小值為23。

（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″分別交OA、OB于點(diǎn)Q、R，則△PQR的周長(zhǎng)=PR+RQ+PQ=P″R+RQ+P′Q=P′P″最小，

因?yàn)椤螦OB=30°，∴∠P′OP″=60°，OP′=OP=OP″，

∴△OP′P″是等邊三角形。

∴P′P″=OP′=OP=8，

∴△PQR的周長(zhǎng)最小值為8。

二、 巧妙結(jié)合于函數(shù)

變式1：結(jié)合于函數(shù)一次函數(shù)

定點(diǎn)A（1，2），B（3，4），在x軸上找點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，并求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：點(diǎn)A（1，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（1，-2），

連接AB交x軸于點(diǎn)P，

則直線A′B解析式為y=3x-5。

令y=0，得x=53，∴P53，0。

變式2：與拋物線相結(jié)合

拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0），B（1，0），C（0，-3），應(yīng)用對(duì)稱軸進(jìn)行坐標(biāo)點(diǎn)確定，首先分析是否存在點(diǎn)G，根據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行求和運(yùn)算或者理由陳述。

解：設(shè)拋物線y=a（x+4）（x-1），

拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，-3），∴-4a=-3，

∴a=34，y=34x2+94x-3

對(duì)稱軸：直線x=-32，點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=-32對(duì)稱。

連接AC，交直線x=-32于點(diǎn)G，

直線AC的解析式y(tǒng)=-34x-3。

當(dāng)x=-32時(shí)，y=-158，∴G-32，-158。

三、 總結(jié)

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，尤其在各地市的中考試題中，經(jīng)常會(huì)遇到這類問(wèn)題，由于問(wèn)題解題難度較大，巧妙地轉(zhuǎn)化遷移軸對(duì)稱知識(shí)，就可以縮短題目解答時(shí)間。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，讓他們主動(dòng)探究、掌握數(shù)學(xué)的方法，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具實(shí)際應(yīng)用意義。融合軸對(duì)稱問(wèn)題于其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程中，能夠促使數(shù)學(xué)問(wèn)題逐一解決，有利于拓展學(xué)生想象空間，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高有促進(jìn)作用。

作者簡(jiǎn)介：

阮明燕，福建省莆田市，福建省莆田市仙游縣湖宅中學(xué)。endprint