混合整體最小二乘在點云數據平面擬合中的應用

趙若鵬 余迎松

（湖北工業大學土木建筑與環境學院 湖北武漢 430068）

1 前言

地面三維激光掃描掃描技術作為一種新型的測量技術已經得到較為廣泛的應用，尤其在古建筑物保護、對建構筑物進行整體分析方面具有較大的優勢。該技術數據獲取速度快，實時；信息傳輸、加工、表達容易等特點，已經成為獲取研究對象現實場景三維模型的一種快速手段[1]。

平面擬合是地面三維激光掃描數據處理過程中的一部分，點云數據平面擬合可以得到點云數據的平面特征信息，對于后續不同測站之間配準、點云數據去噪、變形監測[2]等數據處理均有影響。傳統的平面擬合方法有最小二乘法、特征值法[1]、整體最小二乘方法[3]等。最小二乘法在假定x，y均無誤差，僅在z方向上考慮誤差，但點云數據三個方向上均有誤差，所以，最小二乘方法并不適用于點云數據平面擬合的解算，在剔除異常值后對平面再次擬合，作為一種穩健的最小二乘進行平面擬合。本文在整體最小二乘的基礎上，考慮到x，y，z三個方向均有誤差，系數矩陣中的部分常數向量不需要修正，同時考慮到點云數據中存在異常值的情況下，提出了一種穩健混合整體最小二乘平面擬合方法。

2 穩健混合整體最小二乘平面擬合

2.1 混合整體最小二乘平面擬合[4]

設空間平面方程為式（1），其中a、b、c為平面方程系數：

對某一墻面利用三維激光掃描進行掃描，獲得n個點云數據為：{（xi，yi，z），i=1，2，…，n}。點云數據在x、y、z3個方向均有誤差，增加改正數后方程為式（2），其中 υxi、υyi、υzi為 x、y、z3 個方向的誤差改正項：

將式（2）進行化簡得以下各式，式中EA、EL分別為矩陣A和列向量L的誤差：

式（3）中的矩陣A可以看出第三列為常數列不需要進行修正，因此運用混合整體最小二乘，其計算過程為：

對線性方程：

其中，在本文中，A1∈Rm×1、A2∈Rm×2、x1∈R1、x2∈R2、B∈Rm，m 為觀測值個數，A1為無誤差的常系數陣，A2為每列都有誤差的系數陣。

混合最小二乘準則為：

min||[A2，B]-[A贊2，B贊]||

在本文，式（8）中 R11∈R1×1、R12∈R1×2、R1b∈R1×1、R22∈R（m-1）×2、R2b∈R（m-1）×1。

所以，式（7）變為：

通過 SVD 分解求方程 R22x2=R2b得到，然后把代入方程 R11x1+R12x2=R1b并通過最小二乘求解得到x贊1，最終求得 x=]，即得到擬合平面方程系數 a，b，c。

2.2 穩健混合整體最小二乘平面擬合

所謂穩健性，即經過異常點剔除后所得到的數據較優于平面的擬合，所獲得的點云擬合平面誤差較小，穩定性較好，精度較高。在混合整體最小二乘的基礎上，利用經過剔除異常值后的點云數據進行平面擬合，即本文提出的穩健混合整體最小二乘平面擬合方法可以獲得較高的穩定性和精度。

3 異常點的剔除

三維激光掃描儀進行相關實驗時，由于各種因素的影響，如樹木遮擋、墻面本身結構等，對掃描的點云數據產生異常值，為了提高擬合精度和穩定性，需要將異常值去掉，有些粗差可以認為的刪除，有些肉眼無法判斷的需要進行相關的算法設定相關的閾值。具體算法如下：

（1）利用特征值法計算a，b，c的初始值；

（2）根據點到直線的距離公式：

計算出點云數據中的每個點到擬合平面的距離di；

（3）利用式（11）計算距離di的標準偏差，

（4）當 di＞2σ 時，此點被認為是異常值，刪除；反之，保留；

（5）利用保留下來的點通過混合整體最小二乘重新計算參數a，b，c，此時將獲得精度較高的擬合曲面。

4 實驗及結果分析

為分析本文提出的方法的實用性，在matlab環境下進行編程實現利用本文提出的穩健混合整體最小二乘平面擬合，并對結果分析獲得該方法的穩定性和精度。

本次實驗采用RIEGL3D激光成像掃描儀LMS-Z對某一宿舍墻面進行掃描，將三維激光掃描儀的距離分辨率分別設定為1mm和3mm，參數設置為：豎直角度范圍為56～125°，水平角度范圍為241～324°。在擬合前，由于掃描墻面的結構不相同，需要對點云數據進行分割，將可能相同特性的點劃分到同一集合再進行擬合，因此，對掃描的墻面選取某一小塊區域，通過對點云數據的觀察，明顯的粗差進行手動剔除，不明顯的誤差用異常值剔除方法進行剔除，獲得距離分辨率分別為1mm和3mm剔除前和剔除后的數據如表1。

表1 不同分辨率異常值剔除情況

從表1中可以看出，不同分辨率得到的異常值的剔除率差別很小，說明不同分辨率在剔除異常值的方法上是一致的，圖1是距離分辨率為1mm的情況下，圖2是距離分辨率為3mm的情況下的點云圖像，其中左邊為異常值剔除前的，右邊為異常值剔除后的。

圖1 異常值剔除前和剔除后的點云圖像（距離分辨率為1mm）

圖2 異常值剔除前和剔除后的點云圖像（距離分辨率為3mm）

對剔除異常值前和剔除異常值后的點云數據分別利用最小二乘、混合整體最小二乘方法進行平面擬合，獲得計算結果如表1和表2，其中表1為距離分辨率為1mm的情況下，表2為距離分辨率為3mm的情況下。

表2 平面擬合方法的參數估計（距離分辨率為1mm）

表3 平面擬合方法的參數估計（距離分辨率為3mm）

由表1和表2可知，點云數據剔除前利用點云數據的所有點參與平面擬合，即含有較多的異常值使得擬合的曲面誤差較大。距離分辨率為1mm和3mm的情況基本相同，即剔除異常值后最小二乘平面擬合方法和混合整體最小二乘平面擬合方法均比未剔除前獲得擬合曲面誤差要小，精度要高，說明經過異常值剔除后獲得的點云數據對高精度的平面擬合有較有利的影響。由于最小二乘假定x、y方向無誤差，只是考慮z方向的誤差，而本文中的混合整體最小二乘考慮到三維激光掃描數據三個方向上均有誤差，并考慮到系數矩陣有不需要進行修正的向量，所以本文提出的混合整體最小二乘曲面擬合方法比最小二乘平面擬合方法得到的誤差要小，精度要高。在剔除點云數據中異常值的情況下，獲得較利于擬合平面的點云數據，即表中穩健混合整體最小二乘擬合方法所得到的誤差最小，精度最高。因此，當點云數據具有較多異常值時，穩健混合整體最小二乘平面擬合方法對于擬合高距離分辨率和低距離分辨率均具有較高的精度和穩定性。

5 結論

在進行實際三維激光掃描時，掃描過程中不可避免的存在異常值，如掃描過程中有樹木、人遮擋，建筑物結構本身不規則等。本文在整體最小二乘的基礎上，提出了一種穩健混合整體最小二乘擬合方法，并通過采集的點云數據進行對比分析，結果證明了該算法在總體上可以得到較高的精度，在點云數據有較多異常值的情況下可靠性較高，并不同距離分辨率的點云數據做計算分析，得出本文提出的穩健混合整體最小二乘平面擬合方法對于距離分辨率較高或較低均適用。該方法在點云平面擬合方面具有一定的實用性，對于后續的運用點云擬合平面進行變形監測分析具有一定的指導意義。

[1]官云蘭，程效軍，施貴剛.一種穩健的點云數據平面擬合方法[J].同濟大學學報，2008，36（7）.

[2]羅德安，等.基于3維激光影像掃描技術的整體變形監測[J].測繪通報，2005（7）：40～42.