一種數列通項公式的求解方法

王玉霞

摘要：在與數列有關的題目中，有一類問題是較難解決的，即已知數列的遞推公式，求數列的通項公式。有些題目我們是不能夠通過比較簡單的觀察與運算求解的。或許這里所介紹的方法會給我們在“山重水復”之際一種“柳暗花明”般的思路。

關鍵詞：判別式法；遞推數列；通項公式

數列求解問題中有遇：已知a1及 ， 求 的通項公式問題。

為了求解此遞推數列，通常的方法就是尋找一個新的數列bn，使其為通常所熟識的等差數列或者是等比數列，而通常構造bn的方法是觀察法和待定系數法。

引入系數x，將上式整理為

通過觀察，如要構造新的或等比或等差的數列，需要x滿足特殊的要求，即 。則

Ⅰ.對于 ，有 ，（※）式化為

則可得

Ⅱ.對于 ，（※）式分為兩個

①÷②得： 從而易得等比數列 。

Ⅲ.對于 ，按照Ⅱ，同樣可得

因為此時x1，x2是一對偶虛數，故而 ，從而可得

所以若 滿足周期數列條件，則須 。

以下舉例說明此法的用法。

例1、已知 ， 求 的通項公式

分析：將式中的的an與an+1都換為x得到 。

解：在遞推公式的左右兩邊同減3，得到：

兩端取倒數得： 令

可以得到： 再由

為以 為首項， 為公差的等差數列，

即可得 的通項公式。

例2、已知 求 的通項公式。

分析：將an與an+1換為x得到 方程無解，那么 必是一個周期數列。

可以用數學歸納法證明 是一個周期數列。

例3、已知 求 的通項公式。

分析：將an+1與an都換為x，得到方程

解：將遞推式的左右兩端分別減去3和2，得到：

①÷②得到：

設

是以 為首項，以 為公比的等比數列，

這樣即可求得 的通項公式。