金融衍生品數學理論綜述

馬軍

[提要] 文章主要介紹各種數學理論方法在金融衍生品中的發展。

關鍵詞：金融衍生品；數學理論

中圖分類號：F83 文獻標識碼：A

收錄日期：2017年12月6日

一、金融衍生品簡介

金融衍生品，是指一種金融合約，其價值取決于一種或多種基礎資產或指數，合約的基本種類包括遠期、期貨、掉期（互換）和期權。金融衍生品還包括具有遠期、期貨、掉期（互換）和期權中一種或多種特征的混合金融工具。這種合約可以是標準化的，也可以是非標準化的。標準化合約是指其標的物（基礎資產）的交易價格、交易時間、資產特征、交易方式等都是事先標準化的，因此此類合約大多在交易所上市交易，如期貨。非標準化合約是指以上各項由交易的雙方自行約定，因此具有很強的靈活性，比如遠期協議。金融衍生產品是與金融相關的派生物，通常是指從原生資產派生出來的金融工具。

二、金融衍生品數學理論綜述

金融衍生品在現代金融市場中扮演著非常重要的角色，如何合理地對金融衍生品定價變得越來越重要。傳統的金融模型主要用隨機微分方程來描述標的資產價格的變化過程。然而，隨著行為金融學的興起，越來越多的學者認識到金融市場中資產價格變化并不完全表現為隨機性。在實證研究中的眾多發現也表明，用隨機微分方程來描述股票價格是不合適的，如在實證中人們發現標的資產的價格變化與來自于隨機微分方程中的正態性假設是不一致的。在現實的金融實踐活動中，投資者的信度常常扮演著重要的角色并且影響著市場的表現。

在金融領域中，衍生品扮演著越來越重要的角色。衍生品是由某種更為基本的標的資產派生出來的產品，其標的變量往往是某種交易資產的價格。例如，股票期權是由股票派生出來的金融衍生產品。隨著金融創新的發展，許多新的關于股權、利率、匯率等的衍生產品出現在金融市場中。其他諸如保險衍生品、氣候衍生品、信用衍生品的交易也都非常活躍。金融衍生品的出現，為金融市場中的投資者和交易者提供了投機和套利的機會，以及對沖風險的工具，金融衍生品在風險轉移的過程中也起著相當關鍵的作用。

隨著數理金融學的發展，對證券價格過程的描述從馬爾科夫過程到獨立增量過程，再到（幾何）布朗運動，為連續時間金融定價理論的發展提供了基礎數學工具。然而，越來越多的研究表明，市場并非想象中的那么完美，資產價格過程未必是連續的，對數回報率的分布并不都是正態的，而且存在“尖峰厚尾”現象。因此，對原有理論的拓展，尤其是對被尊稱為“第二次華爾街革命”的Black-Scholes定價理論的改進成為最近20年來的數理金融理論的關注重點之一。

隨著最近幾十年不連續隨機分析理論的完善，越來越多的研究工作開始用列維過程或者其他帶跳的隨機過程來模擬金融市場的波動，并推動了數理金融學理論新的發展。特別值得一提的是，通過引入更多的參數，方差伽瑪（VG）過程在數學上有很好的性質，并且已經被證明可以解釋一些經濟現象：數學上，與布朗運動不同，方差伽瑪過程是有限變差過程，并且增量的分布有著尖峰和厚尾性；經濟學上，基于指數方差伽瑪模型的期權定價方法可以解決經典的Black-Scholes期權定價模型中的“波動率微笑”困境；并且在信用違約互換的定價中，方差伽瑪模型很好地刻畫了實際市場中的信用溢價曲線。

1900年，法國學者巴謝利耶在他的博士論文《投機理論》中，第一次給出了布朗運動的嚴格數學描述，并對股票價格作算數布朗運動假設，這宣告了數理金融學的誕生。但遺憾的是，在20世紀的上半葉，金融學基本上是描述性的，其基本的分析范式是用會計和法律工具來分析公司的財務報表及金融要求權的性質，這直接導致在長達半個多世紀的時間內，巴謝利耶和他的著作一直被埋沒而沒有引起金融學界的重視。直到65年后，薩繆爾森通過統計學家薩維奇重新發現了巴謝利耶的工作，隨后引起了數理金融學理論發展的兩次里程碑式的革命，并對數理金融學研究的主要內容奠定了基調：（1）金融風險的度量；（2）未定權益的定價；（3）最優投資消費決策。

1952年，馬柯維茨在他的博士論文《投資組合》中，用資產價值的波動率來刻畫風險，建立了資產組合選擇理論的“均值-方差模型”；然而，當貨幣主義學派的鼻祖、日后的諾貝爾經濟學獎得主弗里德曼將其準備答辯的畢業論文斥之為非經濟學后，馬柯維茨不得不引入馮·諾依曼-摩根斯坦利期望效用公理體系來改進模型。恰恰是這個當時看似無奈的改進，開創了數理金融學理論的重要分支——最優投資消費決策理論。隨后，夏普和林特納進一步拓展了馬柯維茨的工作，提出“資本資產定價模型”（CAPM模型）。為此，馬柯維茨和夏普獲得了1990年諾貝爾經濟學獎，他們的工作也被稱為“第一次華爾街革命”。

1944年，日本數學家伊藤給出隨機分析中具有重大意義的伊藤積分的定義，并和列維、維納等數學家一起，開創和拓展了處理隨機變量之間變化規律的隨機微積分基本定理，從而為第二次數理金融學革命奠定了理論基礎。1973年，布萊克和斯科爾斯默頓基于市場無套利假設給出了著名的Black-Scholes公式，即標準歐式期權價格顯示解，從而極大地激發了在理論研究和實際工作中大量運用隨機分析的熱情。隨后考克斯開創了基于無套利的風險中性定價方法，隨著哈里森和帕里斯卡、哈里森和克瑞普斯等杰出論文的發表，較理論在數理金融中占據了主導地位，從而確立了數理金融理論的另一個重要分支——未定權益定價理論。因此，斯科爾斯和默頓獲得了1997年諾貝爾經濟學獎，他們的研究工作也被稱為“第二次華爾街革命”。與此同時，默頓和布里登使用貝爾曼開創的動態規劃方法和伊藤隨機分析技術，重新考察了不確定環境下的最優消費/投資決策問題，獲得了連續時間跨期資源配置的一般均衡模型（ICAPM模型）和消費資產定價模型（CCAPM模型），從而推廣了原先比較靜態的均值-方差模型。

從數理金融學的發展歷程可以看出，未定權益定價理論的基礎是“有效市場假說”，即證券價格遵循隨機游走，市場是一個鞍或“公平博弈”；而對證券價格過程的描述從馬爾科夫過程到獨立增量過程，再到（幾何）布朗運動，為連續時間金融定價理論的發展提供了基礎數學工具。可以說，“有效市場假說”和“證券價格過程的隨機刻畫”，是數理金融理論發展的基礎。然而，1987年華爾街的“黑色星期一”，特別是1998年美國長期資本管理公司（LTCM）的慘敗驚醒了華爾街的金融學家們：市場并非如他們想象的那么完美，資產價格過程未必是連續的，對數回報率的分布未必是正態的，套利也未必不存在，而當市場發生重大事件時，無套利假設更是一種虛幻。因此，對原有理論的拓展，甚至對基本假設的改進成為最近20年來的數理金融理論的關注重點。

其實早在1965年，Fama就指出金融工具資產回報的分布比正態分布具有更高的峰度并呈現出“厚尾”現象，特別在高頻數據或資產剩余持有期較短的時候更加明顯。傳統的Black-Scholes模型存在著著名的“波動率的微笑”和“偏斜”等問題，而且由于違約事件的發生往往是突然的，不可能通過連續的資產價格過程來描述，因此最近幾十年越來越多的研究工作開始用列維過程或者其他帶跳的隨機過程來模擬金融市場的波動，推動了數理金融學理論新的發展。

1976年，Merton首次引入跳擴散過程來刻畫資產價格回報的動態變化，并推導出歐式期權價格的表達式；隨后分別給出了跳擴散模型下含違約風險的債券和資產證券化的定價方法。類似的工作還有方差伽瑪（VG）模型、雙曲模型、NIG模型廣義雙曲模型、Meixner模型、CGMY模型等。與此同時，不連續情形下的最優投資消費決策問題的研究也層出不窮：基于蒙特卡羅方法給出了多維方差伽瑪模型下的（靜態）投資組合最優化問題的求解；假設股票價格變化服從半軼過程，通過對數效用最大化給出最優的投資組合；假設股票價格遵循指數Levy過程，分別給出了冪效用、對數效用和指數效用最大化的投資組合顯式解；探討了指數Levy模型下，基于特殊效用函數（如HARA效用）的最優交易策略和資產配置問題。

特別值得一提的是，1987年Madan首次將方差伽瑪（VG）過程引入金融建模，發現VG分布相比原來的正態分布更準確地刻畫了資產的對數收益率。在之后20余年里，大量學者研究了基于指數方差伽瑪（EVG）模型的金融衍生品定價問題：1990年給出了基于EVG模型的期權定價方法，并與經典的BS模型進行比較；1998年，通過對VG過程特征函數的刻畫，給出了基于EVG模型的標準歐式期權價格閉形解，并發現基于EVG模型的期權定價方法可以很好地解決經典的BS模型中的“波動率的微笑”困境；1999年，給出基于EVG模型下期權定價的快速傅立葉變換方法；則給出PIDE的顯隱式差分數值求解方法，特別的，將其推廣到EVG模型下美式期權的定價中；將EVG模型應用到信用違約互換（CDS）的定價中，很好的刻畫了實際市場的信用溢價曲線；將VG分布推廣到多維的情形，并應用到CDOs定價中。

可轉換債券是一種既有債權屬性又有期權屬性的混合型金融工具，其定價理論大致有兩類。第一種是結構化方法：1977年，以公司資產價值為標的變量，用BS方法首次對可轉債進行定價研究；同年使用類似的方法，考慮股票分紅和帶贖回條款的情形，并使用有限差分的方法進行數值求解；到了1980年，開始把隨機利率引入到可轉換債券定價中，對上述方法進行了擴展；第二種是約化方法：1986年，fuel首次以公司股票價格作為標的變量來對可轉換債券進行定價，同樣通過有限差分法得到數值解。

但是，在上述的研究工作中，無論是結構化方法還是約化方法，都對基礎變量的對數回報動態變化作高斯過程假設，其根本上與Black-Scholes模型中對標的資產作幾何布朗運動假設是一樣的。考慮到VG過程在數學上有很好的性質，并且已經被證明可以解釋一些經濟現象：數學上，VG過程增量的分布有著尖峰和厚尾性；基于對指數Levy模型基本理論歸納總結的基礎上，將指數方差伽瑪模型（（EVG）推廣到可轉換債券的定價研究中。