基于貝葉斯預測更新的報童模型

陳志剛，賈濤，陶厚永

0 引言

需求和供給的匹配是供應鏈管理中核心問題之一[1]。企業在當前時刻訂貨，然而在未來時刻才能收到貨物，因此企業必須對未來的市場需求做出預測。企業可以使用大量數據預測未來的市場需求，如可以觀察相同及類似功能產品的需求、相同特性產品（如大屏幕手機）銷售情況，市場經濟狀況走勢（人們的消費會增加還是減少）等。隨著互聯網技術持續迅速地發展和大數據時代的到來，對于數據的挖掘和運用已成為影響企業生產力的重要因素。企業信息化建設水平不斷提高，對市場需求的預測也更加精確，使供應鏈需求和供給更加匹配，并顯著提高了供應鏈運作效率[2]，因此在供應鏈管理中市場需求預測正發揮越來越大的作用。然而預測始終是不準確的，從獲取信息的角度看，企業希望訂貨時間離銷售開始時刻越近越好[3]。企業可以通過向附近的供應商訂貨、工人加班和采用更快速的運送工具等來縮短提前期。通常這些手段都需要付出額外的成本，因此在每一時刻企業都需要權衡，究竟是等待在未來獲得更多的市場需求信息，還是以較低的采購成本在當前時刻訂貨。

許多學者研究了預測更新問題。Fisher和Raman[4]首先分析兩周期預測更新庫存系統，企業在第一個周期開始時以較低的價格向普通供應商訂貨，接著持續搜集市場需求信息，在第一個周期末更新市場需求預測結果。在第二個周期開始時企業還有一次補貨機會，允許以較高的價格向緊急供應商訂貨。企業需要決策兩個周期的訂貨策略。Iyer和Bergen[5]進一步考慮在第一個周期末采用貝葉斯方法進行預測更新，分析了快速響應環境下供應商和零售商之間何時帕累托最優，并設計了相應的協調機制。此后有大量的基于兩周期模型擴展研究，如考慮不同庫存系統中顧客策略行為、采購成本隨機波動和零售商之間相互競爭等[6-8]。在多周期條件下，Allen和Esopo[9]考慮了企業存在正常和緊急兩種不同訂貨途徑，采取周期盤點方式的庫存模型。Moinzadeh和Nahmias[10]考慮了同樣條件下采用連續盤點方式的庫存問題。多周期條件下，存在兩種不同提前期長度的庫存模型非常復雜，大多采用數值計算方法，沒有精確求解算法。Veeraraghavan和Scheller-Wolf[11]首次將模型轉換為單變量的仿真問題，能夠在數秒之內求得近似解。Hua、Yu和Zhang[12]探討了這類模型解的結構性質。很少文獻研究模型中存在三種不同提前期長度，Sethi等[13]研究了系統中存在快速、中等和正常三種提前期長度時最優庫存策略。上述文獻中盡管模型中存在兩種或三種提前期長度，但提前期都為預先給定的常數或隨機變量，只是在有限時間點的市場需求預測更新。

實際中企業可以自由選擇合適的提前期長度。Ouyang等[14]研究了可控提前期庫存模型，模型中不考慮預測過程，企業同時決策最優訂貨量和提前期長度使總成本最小。宋華明和馬士華[15]研究了基于可控提前期的協調問題，Yi和Sarker[16]研究了存在貨架空間約束問題。在可控提前期模型中盡管企業可以預先決策最優提前期長度，但沒有考慮預測過程，提前期長度不能隨著預測過程動態變化。Wang等[17]首先考慮了基于市場需求預測過程的庫存模型。企業僅有一次訂貨機會，它持續不斷地預測市場需求并選擇合適的時間點訂貨。假定市場需求預測過程服從幾何布朗運動，不考慮訂貨成本，Wang等證明最優訂貨時間為某一固定時點與預測過程無關。Tong等[18]進一步考慮企業不存在訂貨次數約束和市場需求預測過程為布朗或幾何布朗運動，證明企業的最優庫存策略為Basestock策略。

文獻[17]和文獻[18]均假定在每一時點預測值調整量分布的參數已知。但實際中分布的精確參數值是未知的，得到的是根據市場需求信息數據估計的參數（如均值和標準差等）。本文假定預測過程為布朗運動，企業可以根據收集的數據獲得市場需求的預測值及隨時間變化時預測值調整量的方差，運用貝葉斯方法預測市場需求。建立了基于貝葉斯預測更新的報童模型，分析數據對預測市場需求的影響，并給出了企業最優庫存策略。通過敏感性分析說明采購成本和市場需求信息對庫存策略的影響。

1 問題描述、符號說明及假設

企業計劃在未來某個時刻銷售某種商品。通過選擇不同供應商或運作流程企業可以在整個計劃時期內不同時間點訂貨。由于不同供應商產品之間有差異，生產工藝流程不相同和存在訂貨成本等原因，假定企業僅有一次訂貨機會，訂貨量Q＞0。整個計劃時期由N+1個時點組成，企業所有能夠訂貨的時間點對應時點1到時點N，在時點T=N+1時，銷售季節開始，銷售開始并迅速完成。產品銷售價格給定為r。在時點i訂貨時，訂貨成本為Ai≥0，單位采購成本為ci且采購成本隨著提前期的縮短而增大，即0＜c1＜c2＜...＜cN＜r。為了簡化模型假定銷售季節結束后剩余產品價值為零，不考慮折現影響（這些情形簡單且不影響問題性質和結論）。

企業連續不斷的收集市場需求信息。N+1個時點將計劃時期分為N個時段。在各時點市場需求均值為θi。在各時段上根據收集的市場需求信息得到相鄰時點間市場需求的調整量為 εi，遞推關系滿足 θt+1=θt+εt。 εt為正態分布，均值為零，標準差為σt，相互獨立且與預測值和決策過程無關。若當前時點為i，在未來當t≥i時，εt為隨機變量，在過去當t＜i時，εt為隨機變量的實現值，是一個確定值。當前時點為t時，市場需求均值為θt=θ1+ε1+ε2+...+εt-1。而在時點 t=T 時，θT即為真實的市場需求，下文中記真實的市場需求θT為符號D。企業根據以往的歷史數據，可以估計出所有 σi，i=1，2，...，N的大小。在當前時點t，根據已知的市場需求信息數據可以得到市場需求預測值dt。企業不知道參數θt的具體值，但可以根據σt和dt值利用貝葉斯方法估計參數θt。在前一時點t-1，根據已有數據獲得了-θt-1的后驗分布（-代表后驗分布），結合已知調整量εt-1的分布，可以得到-

θt的先驗分布（用-代表先驗分布）。先驗分布沒有包含時點t-1至時點t間收集的市場需求信息。企業根據收集的市場需求信息在時點t重新對市場需求做出預測得到dt。根據新的預測值dt采用貝葉斯方法可以得到更精確

2 模型構建和求解

2.1 市場需求D和θt的分布

在開始時點1，由于時點1以前沒有市場需求預測值，因此 θ1=d1，θ1可視為方差為0的正態分布 N(d1，0)（其中N代表正態分布）。假設當前時點為t(t＞1)。在當前時，參數θt未知。企業獲得的信息預測市場需求值為dt。根據貝葉斯理論，可得更精確的θt分布（后驗分布），其均值和標準差為[5]：有：（1）在前一個時點t-1獲得-θt-1的后驗分布為正態分

在當前時點 t，預測值 di，i=1，2，...，t已知，所有σi，i=1，2，...，N 也已知。根據遞推關系可以求得 θt的后驗分布 N(-μt，-σt2)。因此在時點t預測市場需求D為正態。如果企業不在當前時點訂貨，則需要在時點t預測未來時點θt+1的后驗分布，根據遞推關系式，-μt+1=ρt+1dt+1+(1-ρt+1)-μt。但其中未來dt+1為隨機變量。在時點t預測市場需求可以有兩種方法，一種如前述直接預測時點T的市場需求。另一種將預測過程視為兩部分之和，從時點t至未來時點t+1和從未來時點t+1至時點T。第一部分為調整量εt服從正態分布N(0，εt)，第二部分為在時點t+1預測市場需求dt+1。兩種方法實質一樣，因此兩部，遞推關系

從上述預測過程可以看到：（1）在每一時點預測更新后，預測精度提高。獲得市場預測數據dt后，θt后驗分布的標準差為先驗分布的 ρt倍，且 ρt＜1；（2）當預測獻比重1-ρt增大。說明當前時點t離銷售季節開始時越近，預測的精度就會越高，且當前時點的預測值對預測的結果影響更大。（3）由遞推關系（1）可知，對 θt預測時，每一個時點i（i＜t），預測值di都對均值 μt有貢獻，權重大由于 ρj均為0至1之間，因此過去時點i離當前時點t越遠（i值越?。?，數據di占 μt的權重就越小，對預測的貢獻較小。

2.2 模型的求解

（1）時點 N

在時點N最優庫存策略為basestock策略，當-μt＞SN

（2）任意時點t

在未來市場需求預測值為隨機變量，因此企業可能在當前或未來任意時點訂貨并停止決策。模型為較復雜最優停止問題[19]，沒有通用的遞推計算方法。將采用數學歸納法證明對于所有的時點i均存在唯一的Si滿足Ri(Si)=FRi(Si)，且Θ(-μi)函數為單調遞增函數。當i=N時，根據上文假設成立。假設i≥t+1時假設均成立，若當前時點為t時企業不訂貨，則有：

定理1：企業最優庫存策略為basestock策略，在當前時點t存在且唯一的Sdt，其值與當前或未來的市場需求預測值di，i=t，t+1，...，N無關。若當前市場需求預測值dt＞Sdt時，最優庫存策略為訂貨，訂貨量為 -μt+zt

由式（5）和式（2），Θ(-μt)為單調遞增函數且導數大于正常數ct+1-ct。Θ(-μt)=0必定存在唯一解St，證畢。根據遞推式（1），可以得到對應預測值dt的訂貨點為：若當前市場需求預測值dt≤Sdt時，企業繼續等待，直到下一時點進行新的決策。

2.3 采購成本和市場需求信息

這里分析采購成本和市場需求信息對企業決策的影響。探討當前時點為t時，參數ci（采購成本）和σi（市場需求信息）變化時對企業決策的影響。參數ci增大時，若i＞t時，Rt(-μt)值不變，FRt(-μt)減小，Θ(-μt)值增大；若i=t時，類似可得 Θ(-μt)值會減小；若i＜t時，過去的ci對 Θ(-μt)值無影響。由Θ(-μt)為單調遞增函數且Θ(St)=0，可得相應的St和Sdt變化趨勢。參數σi增大時，若i≥t時，未來時點i+1的變化可理解為，時點i+1向前移動（遠離銷售季節開始時間T），而保持其余時點不動。此時Rt(-μt)值不變，FRt(-μt)減小，Θ(-μt)值增大；當i＜t時，由遞推式（1）知Rt(-μt)和FRt(-μt)同時減小，Θ(-μt)變化不能確定。匯總結果見表1。

表1 敏感性分析

表1體現了采購成本和市場需求信息對企業決策的影響。當參數ci增加時，若當前時點為t＜i，則未來期望利潤減小，企業更愿意在當前時點訂貨，St和Sdt減小。若當前時點為t=i，則當前期望利潤減小，企業更愿意在未來時點訂貨，St和Sdt增大。而在過去，采購成本ci無影響，St和Sdt不變。當參數σi增大時，當市場需求信息的調整量εi發生在當前時點t（t≤i）之后，則當前期望利潤不變，未來期望利潤減小，企業更愿意在當前時點訂貨，St和Sdt減小。若εi發生在當前時點t（t＞i）之前，則當前和未來期望利潤同時減小，St和Sdt變化趨勢不能確定。

3 結束語

本文基于貝葉斯預測更新的報童模型，分析企業如何根據數據運用貝葉斯方法進行決策。企業可以在計劃時段內任意時點訂貨。離銷售季節開始越近，市場需求預測精確度越高，但采購成本會增加。根據搜集的數據建立市場需求的預測過程，分析數據對預測市場需求的影響。當市場需求預測的調整量為正態分布且存在訂貨成本時，建立了基于貝葉斯預測更新的報童模型。證明在當前時點t存在且唯一的Sdt，其值與當前或未來的市場需求預測值di，i=t，t+1，...，N無關。若當前市場需求預測值高于Sdt時，企業最優庫存策略為當前時點訂貨；否則企業最優庫存策略為繼續等待，收集更多市場需求信息在未來某個時點訂貨。分析了采購成本和市場需求信息對企業決策的影響。未來進一步可以研究更復雜供應鏈環境中的預測更新問題，如供應商和零售商協調問題。

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