多約束條件下MIMO雷達自適應波形設計方法

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(解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037)

0 引言

多輸入多輸出(Multiple-input Multiple-output，MIMO)雷達是一種新體制雷達。作為雷達研究領域的一個熱點，MIMO雷達以其多輸入多輸出的特點，在信號形式及系統構成的靈活性、易擴展性等方面有著自身的優勢。MIMO雷達的概念一經提出，便引起了國內外學者的興趣并對其展開了大量的研究[1-9]。文獻[7]最早將互信息(Mutual Information，MI)作為波形優化準則，引入到雷達的波形設計中。此后，基于信息論方法的波形設計受到廣泛關注。文獻[8]從信息論的角度，基于MI與最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE) 準則對MIMO雷達正交波形進行了研究。文獻[9]研究了有色噪聲背景下MIMO雷達的最大互信息波形設計方法。

目標估計是雷達的重要任務之一，目前面向目標估計的自適應波形優化研究主要是MMSE和MI準則下的任意波形設計理論，但如果考慮實際雷達系統的應用需求，特別是低信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR) 場景下，僅僅針對目標估計性能的波形設計不一定能滿足系統對目標檢測性能的要求。然而，目標檢測性能是雷達系統進行其他探測任務的重要前提；因此，在針對目標估計的波形優化問題中需將目標檢測性能作為重要約束條件加以考慮，使雷達在提高目標估計性能的同時能夠兼顧檢測性能，滿足實際系統的需求。文獻[10]以檢測性能為約束條件，提出基于凸優化和隨機化方法相結合的面向目標估計的波形優化方法；文獻[11]以目標檢測性能和能量作為約束條件，通過混合罰函數的方法對模型進行求解。然而，以上兩種方法都是在白噪聲的背景下研究單輸入單輸出(Single-input Single-output，SISO)雷達的波形設計問題，沒有考慮色噪聲對問題求解的影響，且都是從頻域的角度進行分析，將所求優化波形從頻域變換到時域時，會帶來性能的下降。本文根據上述問題，提出了多約束條件下MIMO雷達自適應波形設計方法。

1 MIMO雷達信號模型

假設MIMO雷達的發射陣元和接收陣元個數分別為P和Q，其系統模型如圖1所示。不失一般性，認為此模型為基帶離散時間模型。對于一個距離擴展目標，用一個v階的有限沖激響應(Finite Impulse Response，FIR)系統描述從第p個發射陣元到第q個接收陣元之間的信號傳輸，則第q個接收陣元的接收波形可以表示為：

(1)

式中，xp(·)表示第p個發射陣元的發射信號，g(p,q)(·)表示第p個發射陣元到第q個接收陣元之間系統的沖激響應，nq(·)表示第q個接收陣元的加性噪聲。

假設L為發射信號長度，且L>v，則式(1)可表示為以下矩陣-向量形式：

(2)

式(2)中，gp,q=[gp,q(0)…g(p,q)(v)]T，yq=[yq(k)…yq(k+L-1)]T，nq=[nq(k)…nq(k+L-1)]T，[·]T代表轉置。另外，Xp為一個包含第p個發射陣元波形信息的L×M(M=v+1)Toeplitz矩陣，其矩陣結構為：

(3)

(4)

(5)

(6)

綜上可知，接收回波信號與目標的MI可表示為[7]：

(7)

式中，h(·)表示信息熵。考慮矩陣求逆引理：

det(Ir+AB)=det(It+BA)

(8)

式中，矩陣A∈r×t，B∈t×r；I和It分別表示維數為

r和t的單位陣，可得回波與目標間的MI表示為：

(9)

式中，IQL表示維數為Q×L的單位陣。

(10)

式中，P0表示發射信號功率。

2 波形設計方法

由于雷達在實際工作場景中往往要同時進行目標檢測、估計、識別和跟蹤等多項任務，而不僅僅局限于一種任務，因此要求所設計的波形能夠使雷達在某一方面獲得較優性能的同時，也能夠滿足其他任務的基本要求。由于在式(10)中并沒有SNR約束，因此當環境中存在較強干擾、噪聲等影響致使SNR較低時，無法保證設計的波形能夠滿足目標檢測的要求。因此，在進行波形優化時還需要考慮SNR的約束。

根據式(5)，雷達接收端的SNR為：

(11)

綜上考慮目標函數以及各種約束條件，該優化問題的數學表達形式可表述為：

(12)

式中，r表示滿足檢測性能要求的最低SNR。

2.1 白噪聲假設下的波形設計

(13)

(14)

式中，Z=χU。由于U為酉陣，可以得到tr(χHχ)=tr(ZHZ)。假設所分析的MIMO雷達的波形具有正交性，可以得到χHχ為對角陣。同時可知，ZHZ也為對角陣且對角元素非負。令Q=ZHZ，Qii≥0，?i∈[1,PQM]，此時將Q作為求解變量，式(13)的優化問題可表示為：

(15)

式中，由于Q為半正定矩陣，式(15)也就變成了一個半正定規劃(Semi Definite Program, SDP)問題，該問題有成熟的求解方法，實際使用中有相應的工具箱。設Qopt為式(15)的最優解，則矩陣Z可以表示為[8]:

(16)

其中，Ψ≈LQ×PQM，且列向量之間相互正交，滿足ΨHΨ=IPQM。由此，可以得到白噪聲假設下所設計的優化波形為：

(17)

2.2 色噪聲假設下的波形設計

由式(8)和式(9)可知，目標函數可以表示為：

(18)

(19)

log[det(BBH+ILQ)]

(20)

根據Hadamard不等式[12]，有：

(21)

(22)

因此發射波形矩陣需滿足：

(23)

式中，Λχ=diag(Λχ,1…Λχ，PQM)；0(QL-PQM)×PQM表示維數為(QL-PQM)×PQM的全零矩陣。綜述所述，當波形矩陣滿足式(23)所示結構時，式(18)所示目標函數取得最大值。此時考慮兩個約束條件的限制，將式(23)代入式(20)和式(12)，則優化問題變為：

(24)

其中第1個約束條件為能量約束，第2個約束條件為SNR約束。式(24)是一個SDP問題，可以使用CVX工具箱進行有效求解。設Λχopt為式(24)的最優解，則接收回波信號與目標的MI最大為：

(25)

此時，可以得到色噪聲下所設計的優化波形為：

(26)

3 仿真與分析

本節主要對算法的有效性進行驗證，主要在MIMO雷達信號模型下，對多約束條件的波形優化問題進行仿真分析，仿真實驗如下。

3.1 白噪聲背景下的波形設計

接著，考慮SNR約束對估計性能的影響，假定滿足檢測性能要求的最低SNRr為5 dB,固定接收信號的觀測長度L=80，功率P0在10～100之間變化，則在有無SNR約束條件下優化波形以及線性調頻(linear frequency modulation，LFM)信號的MI隨P0的變化情況如圖4所示，圖4(b)是圖4(a)的放大。從圖4可以看出，在發射功率較低時，SNR約束條件下優化波形的MI明顯低于無SNR約束下的優化波形和LFM信號的MI值，這是由于SNR約束對功率分配產生了影響，保證發射波形能夠達到限定的檢測門限，因而使得MI無法達到最優值；當發射功率增大后，SNR約束下的優化波形的MI值很快超過了LFM信號的MI值；當P0>14時，此時優化波形在獲得最大MI值的同時也能夠滿足檢測性能的最低要求，SNR約束將不再起作用，即有SNR約束下的MI值與無SNR約束下的MI值相等。

然后，進一步分析在有無SNR約束下所得到的優化波形對應的檢測性能，假設仿真條件不變，有無SNR約束所得波形以及LFM信號對應的SNR隨P0的變化情況如圖5所示。從圖中可以看出，在沒有SNR約束下所得波形對應的SNR值在P0較低時低于所設定的門限值，檢測性能較差；在有SNR約束下所得波形對應的SNR值在P0較低時也盡可能達到了門限要求，保證了一定的檢測性能。隨著P0的增大，SNR約束成為了冗余項，不再起作用；而LFM信號的SNR明顯低于優化波形的SNR。

最后，分析發射信號到達各目標散射點處的能量分布情況，假設發射總能量在18～55 dB之間變化，其他仿真條件不變 。為方便分析，選取第18,90,120散射點處的能量值以及LFM信號在各散射點處的能量值進行對比分析，如圖6、圖7所示。

從圖中可以看出當發射總能量較少時，能量集中在少數散射點處，大多數散射點處能量極少甚至沒有能量；隨著發射總能量的增大，各散射點處的能量值也呈增大的趨勢，并趨近相同。因此，總發射能量足夠大時，本文優化波形在各散射點處的能量分布情況與LFM信號相比將沒有區別。同時，對比圖6和圖7可以發現，圖7中第18散射點處的能量值先減小后逐漸增大，這主要是由于在SNR約束下，當發射總能量較小時，發射波形將大部分能量集中在少數散射點(如第18散射點處)處，犧牲MI以提高SNR值，達到檢測門限要求；隨著發射總能量的增大發射波形將能量逐漸擴散到各散射點處以提高MI，之前能量較大的散射點處的能量會有所下降；當發射總能量增大到一定程度后，使得發射波形可以在獲得最大MI的同時滿足SNR的要求，SNR約束成為冗余條件，此時隨著發射能量的增大各散射點處的能量值逐漸增大并趨近相同。

3.2 色噪聲背景下的波形設計

現假設噪聲為色噪聲，其功率譜密度如圖8所示，固定發射功率P0=20，其他仿真條件與3.1相同。圖9顯示了SNR約束下的優化波形與LFM信號、目標、噪聲功率譜密度采樣。

觀察圖9可知，當目標PSD高于噪聲PSD時，優化波形的功率較高。反之，優化波形的功率較低。這表明在色噪聲情況下，基于MI準則的波形優化能夠根據目標和噪聲PSD的相對大小自適應地調整波形的發射功率，即在目標特征較明顯時分配較多功率，反之分配較少功率。同時，可以看出LFM信號功率不隨目標和噪聲PSD的大小而發生改變。

4 結論

本文提出了多約束條件下MIMO雷達自適應波形設計方法。該方法在優化設計的過程中，考慮到噪聲協方差矩陣對模型求解的影響，將優化模型分為白噪聲和色噪聲兩種情況進行分析。首先將衡量目標檢測性能的SNR作為重要的約束條件來保證雷達系統的檢測性能；同時，考慮發射信號能量有限的約束條件，采用最大化回波信號和目標間的MI作為優化準則；通過建模，將該非凸的問題轉化為標準凸問題進行求解。仿真結果表明，本文所提的優化波形在滿足系統檢測性能的同時，能最大化目標的估計性能。此外，對于環境背景中存在相關雜波情況下的波形優化設計問題仍需要進一步研究。

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