基于二維插值的引信裝定器用彈道參數解算方法

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(1.南京理工大學智能彈藥技術國防重點學科實驗室，江蘇 南京 210094；2.淮海工業集團有限公司，山西 長治 046000)

0 引言

定距空炸引信主要用于打擊高機動性和高隱蔽性的有生目標，控制彈丸在目標的上方或側面起爆，殺傷隱蔽在工事掩體或建筑物后方的目標，在即使無法直接命中情況下也可實現對目標的有效殺傷，大大提高彈藥的作戰效能[1]。為彈藥配備可編程的電子時間引信是實現彈藥的定距空炸功能的主要方式之一。

對可編程電子時間引信進行數據裝定是實現彈藥精確空炸的前提。在已有射表的基礎上，可編程電子時間引信根據目標參數、氣象參數等與飛行時間的關系實現定距空炸功能。由于每發彈藥的作戰距離、氣象環境、炮口初速等參數不定，每發彈藥需要射表中的數據也不盡相同，同時受電子時間引信微處理器存儲容量的限制，不可能將整個射表數據存儲在引信中,并由引信完成繁瑣的插值計算。為了保證彈藥的首發命中及電子時間引信的定距空炸精度，需要在彈丸發射前對電子時間引信進行裝定[2]。在引信裝定器中以一定間隔分化嵌入射表數據，并配合相應的傳感器、測距機等設備使用，在彈丸發射前由裝定器查表并解算引信需要的數據并實時裝定給引信。

二維插值在大氣、巖土、圖像、地球物理等領域有著廣泛的應用[3-8]，尤其是在圖像放縮領域中的應用。射表中數據主要是距離和海拔的二維參量，即需要兩個參數才能確定所需要的變量。本文針對此問題，提出了基于二維插值算法的引信用裝定器彈道參數解算方法。

1 二維插值算法

二元函數插值包括線性插值、Lagrange型二元多項式插值、二元函數的分片低次插值等[9]。二維插值在工程中有著十分廣泛的應用，尤其是在數字圖像、信號處理和視頻處理等領域。

1.1 分片線性插值

分片線性插值是二維插值中最簡單的具有連續線性的插值方法。假設已知四個插值點(即矩形的四個頂點，如圖1所示)的函數值。

圖1中節點的順序如下：

f1=f(xi,yj) ，

f2=f(xi+1,yj)，

f3=f(xi+1,yj+1)，

f4=f(xi,yj+1)。

在分片線性插值中矩形區域將被分為兩個三角形區域：上三角區域和下三角區域。

上三角區域的劃分條件及插值函數為：

湖北華貴地處江漢平原，為亞熱帶季風氣候，年平均溫度為16.6℃，氣候適宜，日照充足，且境內湖泊眾多，被稱為“百湖之市”。另經國家權威機構測定，洪湖水質達到有機種養的水質標準，有機質含量高，生產條件得天獨厚，水產資源極其豐富。洪湖的特色農產品以水產品為主，包括魚類以及各類水生蔬菜，藕帶的栽培基本不使用農藥，滿足了消費者對健康綠色農產品的追求。在地理位置上，洪湖市緊鄰九省通衢的武漢，南靠長江黃金水道，北連荊州，交通運輸便利，并與湖北仙桃、監利建成了新農村建設試驗區[3]，集聚產業優勢和發展潛力。

(1)

(2)

下三角區域的劃分條件及插值函數為：

(3)

(4)

上三角區為圖1中陰影部分1，不包括虛線部分；下三角區域為圖1中空白部分2，包括虛線部分。

分片線性插值應用在裝定器的彈道解算中需要先判斷未知量的所在區域，即判斷未知量位于上三角還是下三角區域。

1.2 雙線性插值

雙線性插值又稱為雙線性內插，是有兩個變量的插值函數的線性插值擴展，核心思想是在兩個方向分別進行一次線性插值。圖2中節點的順序同圖1的節點順序。

雙線性插值是分片的二次曲面構成的，其插值函數的形式為：

fS(x,y)=(ax+b)(cy+d)

(5)

但由于裝定器的彈道解算僅是在每片區域內進行插值，不需要得出實際的函數形式，僅需要在四個離散點組成的區域內進行解算，為此根據上述的雙線性插值的思想，得出離散的雙線性插值公式為：

(6)

(7)

(8)

由式(6)、式(7)、式(8)得：

(9)

2 雙線性插值的彈道參數解算方法

由上述的式(2)、式(4)、式(9)可以得出分片線性插值的結果僅與三個節點有關，雙線性插值的結果與四個節點相關；雙線性插值不必進行判斷可以對節點區域內的點進行計算；在插值區域內，雙線性插值的結果更加平滑、連續。

在實際的彈道解算中，飛行時間不僅僅是關于射程與海拔的函數，還與氣象、炮口初速等相關。因此只能根據射表的數據擬合出計算射表的公式，從而得到插值方法的誤差。

(10)

式(10)中，f′(x,y)為插值函數，f(x,y)為彈道解算出的關于飛行時間的函數，在實際求解誤差時通過Matlab得到擬合函數f(x,y)。

根據表1中榴彈的數據擬合出飛行時間函數。

f(x,y)=0.536 8+0.114 3x-0.001 081y

(11)

擬合函數的相關系數R-square=1，誤差平方和SSE=6.409×10-6，根據擬合結果可知擬合函數的可信度較高。

由式(11)可知，飛行時間與距離、海拔高度成一次函數關系。分片線性插值的算法與擬合的函數相似程度更高，而雙線性插值的算法比擬合的函數多了二次項，因此雙線性插值的誤差會比分片線性插值的誤差大一點。

為了進一步驗證分片線性插值與雙線性插值在裝定器的彈道解算過程中的表現，分別用分片線性插值與雙線性插值對表1中的數據進行插值計算，并根據插值計算的結果與表2 海拔340 m處的飛行時間進行誤差比較，其中x表示炸點距離，y表示海拔高度。

表1 榴彈的飛行時間Tab.1 Grenade flight time (單位：s)

表2 海拔340 m的飛行時間Tab.2 The flight time of 340 meters above sea level

設A點的坐標為(350,340)，那么根據分片線性插值知A點在上三角區域內，由分片線性插值公式和雙線性插值公式得：

fF(350,340)=0.469 078，

fS(350,340)=0.469 31。

由誤差公式(10)，分別對兩種插值算法進行誤差處理：

wF=0.005% ，wS=0.045%。

根據上述比較可知，雙線性插值比分片線性插值的精度略差。

在僅考慮插值算法對炸點分布的影響時，若彈丸初速度為800 m/s，炸點距離為350 m，海拔高度為340 m時，分片線性插值的炸點的圓概率誤差為0.017 6 m，雙線性插值的圓概率誤差為0.168 m。由此可以看出雙線性插值與分片線性插值的炸點散布相差不大，都可以減小彈丸的空炸炸點散布，但是分片線性插值算法相對更加復雜，計算時間更長。因此在裝定器的彈道解算中優先選用雙線性插值的二維插值。

根據分片線性與雙線性插值的公式可知插值的精度與節點的密度相關。相同海拔高度下不同炸點間隔插值比較如圖3，相同炸點距離不同海拔高度間隔插值比較如圖4。

分析圖3、圖4可知，在相同海拔高度下，飛行時間與炸點距離并不是嚴格的線性關系，炸點距離間隔越小，插值結果精度越高；在相同炸點距離時，飛行時間與海拔高度是嚴格的線性關系，插值結果對海拔高度間隔不敏感。因此在編制飛行時間射表時，在裝定器存儲空間允許情況下，炸點距離的間隔應該相應地減小。而相反地，海拔間隔可適當地增加以節省裝定器的存儲空間。

3 雙線性插值算法驗證

雙線性插值在程序中的應用其流程圖如圖5。

(12)

式中，q=y-yj，p=x-xi。

分別使用根據雙線性插值與分片線性插值算法的裝定器進行靶場試驗，試驗數據如表3(F表示分片線性插值算法，S表示雙線性插值算法)。

序號海拔/m目標距離/m炸點誤差/mF1110012004.6F2110012007.6S1110012002S211001200-8

根據試驗數據可知，雙線性插值與分片線性插值算法炸點誤差都控制在10 m以內，由前文分析知分片線性插值算法的計算更復雜，因此采用雙線性插值算法的裝定器不僅可以滿足解算精度要求，還可以滿足解算時間要求。

4 結論

本文提出了基于二維插值的引信裝定器用彈道參數解算方法。該方法針對兩種二維插值方法進行了比較，得到雙線性插值與分片線性插值的解算精度相差無幾。分片線性插值算法更繁瑣，計算量更大，而雙線性插值的計算更為簡單，更適用于裝定器的彈道解算。在不考慮其他因素的前提下，采用雙線性插值的裝定器彈道解算比采用分片線性插值節省解算時間，并滿足炸點精度的要求。雙線性插值的精度與插值節點的間隔密切相關。仿真結果表明，炸點距離間隔對炸點精度影響較大，海拔高度間隔對炸點精度影響較小，在存儲容量一定情況下，可以通過減小炸點距離間隔，增大海拔高度間隔來確保炸點精度。實驗結果表明雙線性插值算法滿足解算精度和時間精度要求。

[1]洪黎.單兵火箭彈引信炸點精確控制關鍵技術研究[D].南京：南京理工大學，2014.

[2]馬少杰，張合.空炸引信定距誤差分類及修正策略[J].彈道學報，2008，20(3):75-78.

[3]王兆國，程順有，劉財.地球物理勘探中幾種二維插值方法的誤差分析[J].吉林大學學報(地球科學版)，2013，43(6)：1997-2004.

[4]劉宇，陳泮勤，張穩，等.一種地面氣溫的空間插值方法及其誤差分析[J].大氣科學，2006,30(1)：146-152.

[5]莫林利，趙秀紹，鄭偉，等.二維表查找和雙線性插值算法的設計與應用[J].華東交通大學學報，2015，32(5):93-98.

[6]王昊京，王建立，王鳴浩，等.采用雙線性插值收縮的圖像修復方法[J].光學精密工程，2010,18(5)：1234-1241.

[7]舒秀利，周其經，王精業，等.二維插值法在虛擬地形生成中的應用[C]//第四屆全國虛擬現實與可視化學術會議論文集.北京：中國系統仿真學會，2009：293-297.

[8]高善清，魏新亮.數字氣壓高度表數據處理算法分析[J].四川兵工學報，2013,34(7)：80-82.

[9]文世鵬，張明.應用數值分析[M].北京：石油工業出版社，2005.