空間直角坐標系學習指導

■高金花

空間直角坐標系學習指導

■高金花

空間直角坐標系是平面直角坐標系的推廣，它為我們研究數學問題提供了更廣闊的途徑。學習空間直角坐標系，同學們應掌握以下三類主要問題。

一、求空間點的坐標

例1 在棱長為l的正方體ABCDAlBlClDl中，E，F 分別是DlD，BD 的中點，點G在棱CD 上，且CG=CD，H 為ClG的中點，試建立適當的坐標系，寫出點E，F，G，H 的坐標。

分析：求空間直角坐標系內點的坐標時，一般先找出所求點在xOy平面上射影的坐標，再找該點與射影間的距離以確定豎坐標。

解：建立如圖l所示的空間直角坐標系Oxyz。

圖l

點E在z軸上，E為DDl的中點，故點E的坐標為

過點F作FM⊥AD于點M，作FN⊥DC于點N。由平面幾何知識可得，故點F的坐標為

過點H作HK⊥CD于K。由H是ClG的中點，可知K為CG的中點，可得DK故點H 的坐標為

評注：建立空間直角坐標系時應遵循以下原則：讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內；充分利用幾何圖形的對稱性。求某點的坐標時，一般先找這一點在某一坐標平面上的射影，確定其兩個坐標，再找出它在另一軸上的射影（或者通過它到這個坐標平面的距離加上正負號）確定第三個坐標。

二、求對稱點的坐標

例2 在空間直角坐標系Oxyz中，點P（—2，l，4）。

（l）求點P關于x軸的對稱點的坐標。

（2）求點P關于xOy平面的對稱點的坐標。

（3）求點P 關于點M（2，—l，—4）的對稱點的坐標。

分析：求對稱點的坐標，可以過該點向對稱平面或對稱軸作垂線并延長使得垂足為所作線段的中點，再根據有關性質即可寫出對稱點的坐標。

解：（l）由于點P關于x軸對稱，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變為原來的相反數，所以點P關于x軸的對稱點為Pl（—2，—l，—4）。

（2）由于點P 關于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變為原來的相反數，所以點P關于xOy平面的對稱點為P2（—2，l，—4）。

（3）設點P關于點M 的對稱點為P3（x，y，z），則點M 為線段PP3的中點。

由中點坐標公式可得x=2×2—（—2）=6，y=2×（—l）—l=—3，z=2×（—4）—4=—l2，所以P3（6，—3，—l2）。

評注：求對稱點的坐標遵循“關于誰對稱誰不變，其余的符號均相反”的規則。如關于x軸對稱的點，橫坐標不變，縱坐標、豎坐標變為原來的相反數；關于xOy平面對稱的點，橫、縱坐標不變，豎坐標變為原來的相反數。在空間直角坐標系中，若點A（xl，yl，zl），B（x2，y2，z2），則線段AB 的中點坐標為

三、空間兩點間距離公式的應用

例 3 （l）已知點A（l，2，—l），點B（2，0，2）。①在x軸上求一點P，使|PA|=|PB|。②在xOz平面內的點M到點A與到點B等距離，求點M的軌跡。

（2）在xOy平面內的直線x+y=l上確定一點M，使它到點N（6，5，l）的距離最小。

分析：根據點P，M 的位置，設出它們的坐標，根據條件列出關系式，再化簡求解。

②設點M（x，0，z），則由點M 到點A與到點B 等距離得，兩邊平方整理得2x+6z—2=0，即x+3z—l=0。

由上可知，點M的軌跡是xOz平面內的一條直線。

（2）由已知可設點 M 坐標為（x，l—x，0），所以|MN|=

評注：空間兩點間的距離公式是平面上兩點間距離公式的推廣。對于平面上的解題思想和方法，有時在空間幾何里也可使用。

江蘇太倉市高級中學

（責任編輯 郭正華）