例析直線與方程中的錯解

■張亮昌 廖慶偉

例析直線與方程中的錯解

■張亮昌 廖慶偉

直線與方程是學習解析幾何的基礎。學習直線方程必須掌握直線的傾斜角和斜率的概念、直線方程的基本形式。求解直線與方程問題，應仔細審題，熟練運用相關概念，以防解題出現錯誤，下面舉例分析之。

一、對直線的傾斜角與斜率的概念理解不清致錯

例1 下列說法正確的是____。（只填寫正確的序號）

①直線xtanα+y+2=0的傾斜角為α；

②直線x=20l8的斜率為0；

③若直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα；

④所有的直線都有傾斜角，但不一定有斜率。

錯解：由直線xtanα+y+2=0，可知其傾斜角為α。答案為①。

錯因分析：本題考查直線的斜率與傾斜角的關系。

所有直線都有傾斜角，且傾斜角的取值范圍是[0，l80°），當傾斜角為90°時，直線的斜率不存在。

正解：對于①，直線xtanα+y+2=0的傾斜角的正切值為—tanα，即此直線的斜率為k=tanα，①錯誤。

對于②，直線x=20l8的傾斜角為90°，其斜率不存在，②錯誤。

對于③，直線的傾斜角為90°時，此直線的斜率不存在，③錯誤。

對于④，任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率，④正確。答案為④。

二、忽視直線傾斜角與斜率的關系致錯

例 2 已知直線l經過點P（20l8，l），Q（20l7，m2）（m∈R），則直線l的傾斜角α的取值范圍是（ ）。

因為直線的傾斜角α∈[0，π），所以直線l的傾斜角的取值范圍是應選A。

錯因分析：數形結合法是解析幾何中的重要方法。當直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時，需根據正切函數y=tanα的單調性求α的范圍。

由于直線的傾斜角α∈[0，π），根據正切函數y=tanx的圖像，所以α＜π。

三、混淆截距與距離致錯

例 3 已知直線l的斜率為—5，與兩坐標軸圍成的三角形的面積是l0，則直線l的方程為____。

錯解：設直線l：y=—5x+b，令x=0得y=b，令y=0得

因為截距b＞0，所以所求直線l的方程為y=—5x+l0。

錯因分析：直線在x軸（y軸）上的截距是直線與x軸（y軸）交點的橫（縱）坐標，截距可以是正值、零或負值。

正解：設直線l：y=—5x+b，令x=0得y=b，令y=0得

故所求直線l的方程為y=—5x+l0或y=—5x—l0。

四、考慮問題不全致錯

例4 已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為（—l，—2），（3，l），（0，2），求平行四邊形第四個頂點的坐標。

錯解：設A（—l，—2），B（3，l），C（0，2），第四個頂點D的坐標為（x，y）。

由ABCD為平行四邊形，結合中點坐標

所以點D的坐標為（—4，—l）。

錯因分析：上述解法忽視了四邊形ABDC和四邊形ADBC是平行四邊形，從而導致漏解。解題時，首先應將已知三點和所求第四點進行排序，然后設出所求點的坐標，最后應用平行四邊形的性質和中點坐標公式進行求解。

正解：設A（—l，—2），B（3，l），C（0，2），第四個頂點D的坐標為（x，y）。

①若四邊形ABCD是平行四邊形，則由中點坐標公式可得方程組所以點D的坐標為（—4，—l）。

②若四邊形ABDC是平行四邊形，則由中點坐標公式可得方程，，所以點D的坐標為（4，5）。

③若四邊形ADBC是平行四邊形，則由中點坐標公式可得方程組所以點D的坐標為（2，—3）。

綜上所述，所求平行四邊形第四個頂點的坐標為（—4，—l）或（4，5）或（2，—3）。

例 5 已知直線ll：（t+2）x+（l—t）y=3與l2：（t—l）x+（2t+3）y—5=0垂直，則實數t的值為____。

錯解：因為直線ll與l2垂直，所以kl·，解得t=±l，即所求實數t=±l。

錯因分析：當直線ll，l2的斜率都存在時，若kl·k2=—l，則直線ll，l2垂直。上述解法沒有注意直線斜率不存在的情況，從而導致漏解。

正解：①當直線ll，l2的斜率都存在，即t解得t=±l，可知t=—l時，直線ll⊥l2。

②當直線ll的斜率不存在時，t=l，這時直線ll的方程為x=l，直線l2的方程為y=l，顯然直線ll⊥l2，滿足題意。

③當直線l2的斜率不存在時這時直線ll的方程為x+5y—6=0，直線l2的方程為x=—2，顯然ll與l2不垂直，不合題意。

綜上可知，滿足條件的實數t的值為l或—l。

湖北巴東縣第三高級中學

（責任編輯 郭正華）