另辟蹊徑有效引導化繁為簡

孫小軍

[摘 要]切割填補法、容斥原理法、等積轉化法、旋轉移動法、重新構圖法等是將一般圖形轉化為特殊圖形常用的方法，這些方法能使抽象問題具體化、復雜問題簡單化，提高學生的數學素養，值得教師重視。

[關鍵詞]幾何圖形；轉化；一般；特殊；構圖

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）35-0065-02

求稍復雜的陰影部分的面積，是小學“圖形與幾何”的重點和難點。解決這類問題關鍵在于因題制宜，將一般圖形轉化為特殊圖形。常用方法有以下五種。

一、切割填補法

切割填補法是通過觀察陰影部分與整體圖形之間的關系，添加輔助線，切割某個部分填補整體，從而使不規則圖形變為規則圖形。這一方法最為常用、最具代表性，也最為簡單有效。

【例1】如圖1，四分之一圓的半徑為10厘米，以它的兩條半徑為直徑，在內部作兩個半圓，求陰影部分的面積。

分析：圖1中的陰影部分比較規則，觀察它的特征，發現通過添加輔助線進行切割，再整體填補，圖1的陰影部分就轉化為圖2中的陰影部分，所以所求陰影部分的面積實際就是等腰直角三角形（如圖2陰影部分）的面積：S=10×10÷2=50（平方厘米）。

二、容斥原理法

對于比較規則的圖形，用切割填補法雖然也能解決問題，但是卻大費周折、浪費時間。這時運用容斥原理法，可以省時省力，事半功倍。

【例2】如圖3，正方形的邊長為8厘米，求圖中陰影部分的面積。

分析：圖3是正方形中套著四個半圓，四個半圓相加就得到2個完整的圓，在這個過程中每個陰影部分被加了兩次，減去一個正方形，正好得到陰影部分的面積，那么陰影部分的面積就是S=3.14×4×4×2-8×8=36.48（平方厘米）。

【例3】求圖4陰影部分的面積。（單位：厘米）

分析：圖4是由直徑為6厘米和8厘米的兩個半圓和一個直角三角形組成的，單獨求陰影部分面積比較困難。認真觀察圖形后發現，陰影部分的面積等于直徑是6 厘米和8厘米的兩個半圓加一個直角三角形的面積減去直徑是10厘米的大半圓的面積，即S=3.14×（3×3+4×4）÷2+6×8÷2-3.14×5×5÷2=24（平方厘米）。

三、等積轉化法

這個方法與切割填補法類似，都是在忠于題意的前提下實現對圖形的轉化，通過點的移動，改變原有圖形的形狀，但是陰影部分的面積卻不變，實現的是等積變換。

【例4】如圖5，已知一大一小兩個正方形拼湊在一起，大正方形的邊長為8厘米，求陰影部分的面積。

分析：題目并沒有告知小正方形的邊長，因此要想方設法將所求陰影部分轉化到大正方形中，如圖6。連接AB，得AB[?]CD，因此點A和點B到CD的距離相等，得S△ACD=S△BCD，即原來的陰影部分的面積總和保持不變。S=[14][π]r2=3.14×8×8÷4=50.24（平方厘米）。

【例5】如圖7，求陰影部分的面積。（單位：厘米）

分析：圖中陰影部分是一個梯形，它的上底、下底和高都不知道，顯然無法直接求出它的面積。因此，要想方設法將其轉化為求另一個圖形的面積。觀察可知，平行四邊形BCDG的面積等于長方形ABCE的面積（等底等高），兩者都減去同一個三角形BCF，所以陰影部分的面積等于梯形ABFE的面積（如圖8），即S=（2+6）×4÷2=16（平方厘米）。

四、旋轉移動法

一些圖形的陰影部分比較雜亂分散，看似毫無章法，但是進行適當旋轉、移動后重新組合在一起，就可以得到一個較為簡單的新圖形。

【例6】如圖9，已知大圓的半徑等于小圓的直徑，大圓的半徑為4厘米，求陰影部分的面積。

分析：圖9中陰影部分分為三小塊，分別求出各部分的面積再相加非常困難。仔細觀察發現，可以將圖形旋轉拼湊為圖10，陰影部分形如一個“逗號”，而整個大圓可以分成四個“逗號”（如圖11），那么陰影部分的面積就是整個大圓的[14]，即S=[14][πr2]=3.14×4×4÷4=12.56（平方厘米）。

【例7】一張斜邊長為30厘米的紅色直角三角形紙片和一張斜邊為50厘米的藍色直角三角形紙片以及一張黃色正方形紙片，拼成了一個大直角三角形（如圖12）。紅、藍兩張紙片的面積和為多少？

分析：要求紅、藍兩張三角形紙片的面積之和，卻不知道高，很難分別求出面積，因此想辦法將它們合并在一起。因為黃色紙片為正方形，邊長相等，所以將紅色三角形旋轉至圖13。因為∠A+∠C=90°，所以三角形ABC為直角三角形，所以紅色三角形與藍色三角形的面積之和即為直角邊分別是50厘米和30厘米的三角形ABC的面積，所以紅、藍兩張紙片的面積和為S=50×30÷2=750（平方厘米）。

五、重新構圖法

由于已知條件的限制，直接求解較難，又不能對圖形進行旋轉移動或割補填充時，可以嘗試將圖形重新構造成一個容易求解的圖形。

【例8】如圖14，AB=8厘米，CD=3厘米，∠B=45°，這個四邊形的面積是多少平方厘米？

分析：∠A=90°，∠B=45°，充分利用已知條件，構造出一個等腰直角三角形（如圖15），此時解題思路顯而易見。AB=AE=8厘米，CD=CE=3厘米，四邊形[ABCD]的面積為S=S△ABE-S△CDE=8×8÷2-3×3÷2=27.5（平方厘米）。

【例9】如圖16，直角三角形ABC中，AD=15厘米，CE=5厘米，求陰影部分的面積。

分析：根據已知條件很難直接求解，不妨以退為進，重新構造出一個方便計算的長方形（如圖17）。因為S△ABC=S△ACH，S△ADF = S△AFI，S△CEF= S△CFG ，所以S□BDFE= S□FGHI=AD×CE=15×5=75（平方厘米）。

當然，解決問題時不應孤立或生搬硬套地使用上述方法，而應通過觀察與思考，根據實際情況綜合、靈活地運用上述方法，從而提高解題效率。

（責編 吳美玲）