例談提升高中生數(shù)學(xué)思維能力之門徑

金花

【摘 要】 讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，不僅有利于揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，完善對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法、思想的理解，而且讓學(xué)生的自主性、獨(dú)立性、能動(dòng)性和創(chuàng)造性得到真正的體現(xiàn)。本文作者拋磚引玉，值得大家予以適度關(guān)注。

【關(guān)鍵詞】 思維；發(fā)散；靈活；探究；創(chuàng)新

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：教師在課堂教學(xué)過(guò)程中一定要注重揭示獲取知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的思維過(guò)程，使學(xué)生在態(tài)度情感、思維能力和價(jià)值觀等方面得到協(xié)調(diào)發(fā)展。但是，部分教師沒(méi)有真正走出傳統(tǒng)教學(xué)模式的誤區(qū)，用自身的思維代替學(xué)生思維活動(dòng)，熱衷于高題海戰(zhàn)術(shù)，一定程度上影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和創(chuàng)造性。筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)的設(shè)計(jì)和實(shí)施過(guò)程中，應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，密切關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維過(guò)程。

一、堅(jiān)持以生為本，激發(fā)學(xué)生思維的積極性

在數(shù)學(xué)課堂上，教師面對(duì)學(xué)生腦海里產(chǎn)生的各種疑慮，應(yīng)及時(shí)捕捉其背后的生成資源，耐心地解釋學(xué)生的疑問(wèn)、探討學(xué)生的異見(jiàn)、糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，這遠(yuǎn)比多講幾個(gè)題目效果好。

【教學(xué)案例1】已知點(diǎn)F是拋物線y■=2px，（p>0）的焦點(diǎn)，直線AB交拋物線于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)：弦AB何時(shí)最短？最小值是多少？

問(wèn)題剛剛出示完畢，生1不假思索搶答：當(dāng)直線AB垂直x軸時(shí)，弦AB最短，最小值是2p。師：為什么？生1：我是由橢圓里的結(jié)論瞎猜的。師：你的猜想是由橢圓里有關(guān)結(jié)論類比得出的，所以不算“瞎”猜，學(xué)好數(shù)學(xué)太需要這種直觀思維了！但僅有直觀還不夠，大家一起動(dòng)手給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明。

看到同學(xué)們躍躍欲試的眼神，作為教師不忍心拋出答案。事實(shí)證明學(xué)生的思維十分積極，思路開(kāi)闊，解法之多出乎意料。

生2：設(shè)A（x■，y■）B（x■，y■），設(shè)直線AB方程為：x=ty+p，與拋物線方程y■=2px聯(lián)立得，y■=2pty-p■=0，由韋達(dá)定理得，AB=y■-y■=■=■=2p■。所以當(dāng)t=0，即直線AB垂直x軸時(shí)，弦AB最短，最小值是2p。

生3：設(shè)A（x■，y■）B（x■，y■），當(dāng)直線AB垂直x軸時(shí)，弦AB長(zhǎng)為2p。當(dāng)直線AB不垂直x軸時(shí)，設(shè)其方程為：y=k（x-■），k≠0，與拋物線方程y■=2px聯(lián)立得，k■x■-（k■p+2p）x+■=0，由韋達(dá)定理得，AB=x■+x■+p=2p+■>2p，所以當(dāng)直線AB垂直x軸時(shí)，弦AB最短，最小值是2p。

師：以上種解法都非常精彩，你認(rèn)為哪種解法最簡(jiǎn)便，并說(shuō)說(shuō)其中的理由。

生4：解法1比解法2簡(jiǎn)便，因?yàn)榻夥?對(duì)直線AB的設(shè)法，不需討論直線斜率是否存在，解法3實(shí)質(zhì)上是解法2的幾何解釋。所以，我認(rèn)為解法3最簡(jiǎn)便。

可見(jiàn)，教師只有放手讓學(xué)生積極進(jìn)行思考，運(yùn)用所學(xué)習(xí)和掌握的知識(shí)，才能不拘泥、不守舊，勇于打破條條框框的限定，探尋到各種解題方法。即使發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤的解題思路，教師也要善于發(fā)現(xiàn)其中問(wèn)題癥結(jié)所在，及時(shí)糾錯(cuò)；對(duì)學(xué)生不成熟的想法，仍然要予以肯定，并加以引導(dǎo)、改進(jìn)，從而進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探究熱情。

二、問(wèn)題串發(fā)多變，鍛煉學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性

針對(duì)一些典型例題，教師應(yīng)在課堂上通過(guò)變換題目的結(jié)論、條件和問(wèn)題的形式，有的放矢地地引導(dǎo)學(xué)生從變化的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)其不變的本質(zhì)和規(guī)律，從而鍛煉了學(xué)生的發(fā)散思維意識(shí)，幫助學(xué)生掌握靈活機(jī)動(dòng)地思考解決問(wèn)題的有效方法，并在無(wú)窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

【教學(xué)案例2】已知函數(shù)f（x）=x■-■x■+4，g（x）=ax■+4（a>0），對(duì)∨x∈[1，2]恒有f（x）>g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

評(píng)注：教師通過(guò)耐心的引導(dǎo)，讓學(xué)生逐步理解參數(shù)與變量分離后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題。

變式1：若 x∈[1，2]恒有f（x）>g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

評(píng)注：變式1的存在性問(wèn)題與上述恒成立問(wèn)題都可以采用參變分離法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，但兩者又有區(qū)別，通過(guò)變式引領(lǐng)學(xué)生識(shí)別這一易于混淆之處。

變式2：對(duì)∨x■∈[1，2]，∨x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

評(píng)注：變換已知條件設(shè)計(jì)系列問(wèn)題，問(wèn)題之間由易到難、拾級(jí)而上、層次明顯，目的是培養(yǎng)學(xué)生靈活思維，通過(guò)轉(zhuǎn)化統(tǒng)一成函數(shù)最值問(wèn)題。

變式3：請(qǐng)學(xué)生在下列空格內(nèi)填上∨或 符號(hào)，編制題目，同桌之間交換解答，對(duì)_____x■∈[1，2]，對(duì)_____∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

課堂上對(duì)于變式3，學(xué)生編制了以下幾種形式的問(wèn)題并給出相應(yīng)的解答：①∨x■∈[1，2]， x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立；②對(duì) x■∈[1，2]，∨x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立；③對(duì) x■∈[1，2]， x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立。

評(píng)注：變式3與2的計(jì)算可以相互借用，避免了大量的重復(fù)性操作運(yùn)算，為教學(xué)節(jié)約了時(shí)間，讓學(xué)生編擬題目給其他的同學(xué)解答，把課堂氣氛推進(jìn)高潮，場(chǎng)面十分熱烈，效果比較理想；通過(guò)例題和變式的系列問(wèn)題，使學(xué)生充分理解和掌握了不等式恒成立和有解問(wèn)題的規(guī)律，不斷加深了對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，成功虧，拓寬了學(xué)生的創(chuàng)新思維空間。

三、引領(lǐng)自主探究，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性

當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生探索欲望時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生去思考、交流，讓學(xué)生在自主探究中掌握知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)思想和方法，形成學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、批判的思維品質(zhì)和思考問(wèn)題的習(xí)慣，在自主與創(chuàng)新中形成發(fā)展性、創(chuàng)造性的思維品質(zhì)。endprint