水中氣泡分布的共振估計法的誤差分析及修正

黎章龍，屈 科，張 薇，何樹斌

（廣東省近海海洋變化與災害預警重點實驗室，廣東 湛江 524088）

在海洋環境科學中，氣泡作為海水—空氣之間氣體輸送和物質交換的載體，也是海洋噪聲的來源之一。水中氣泡的分布對潮汐動力、海洋表層的聲磁特性、大氣顆粒物的形成等等都有著重要影響。所以，測量海表氣泡分布對于海洋探測有著十分重要的意義。

檢測氣泡半徑與分布有聲學和光學兩種方法。光學方法主要通過高速照相機進行捕捉檢測。高速照相機具有分辨率高、可以直接獲取氣泡分布等優點，但對背景環境光照有很高的要求，而且在實際狀況下，會產生影像重疊，使得檢測結果誤差增大。此外，雖然光學方法精度高，但是觀測面積小，滿足不了實際狀況下對大面積觀測的要求。曹瑞雪[1]對海洋表層及次表層氣泡分布系統研究后，設計了高分辨率的CCD成像系統，并對背景光源和視頻采集等進行了改良，有效地提高了反演準確度。但是，光學方法依舊無法滿足大面積觀測的需要。聲學方法雖然在精度方面不及光學方法，但其成本低，操作簡單快捷，而且觀測面積大。所以，研究和改進聲學氣泡反演方法，可以以較低成本，簡單快捷測量出氣泡的分布，進而研究海氣相互作用的內在機理。

共振譜法是反演水中氣泡分布中被廣泛使用的方法。國外Kerry and Elan對共振估計法進行了詳細的研究，結合孔隙率、聲衰減系數等與反演密切相關的參數，提出了共振譜反演算法，還對假設分布的選取等問題進行探究，分析了共振譜法的誤差來源，并針對其誤差提出了分步反演的修正方法[2]。

國內對氣泡的聲學研究主要集中于船舶尾流和氣幕彈產生的氣幕等方面。錢祖文在20世紀80～90年代對海洋氣泡進行了大量研究，他的研究表明，當氣泡濃度很高時，氣泡間存在相互作用，可以采用聲學反演法分析氣泡的相關參數[3-5]。林巨[7]在分析共振反演法的適用范圍后，結合輻射阻尼系數與聲信號頻率之間的反比關系，建立了AW修正模型，對共振估計法進行了改進。謝萍[8]對共振譜法的誤差提出了聲速修正，較好地修正了反演結果，但是對于非共振效應的研究還比較少。范雨 喆[9]提出了等效空間關聯函數概念，所建立聲學反演方法能準確反演出氣泡群的分布及聚集趨勢。張憶[10]提出了一種新的聲學反演方法，即通過測量不同聲波頻率下氣泡群的散射強度，進而反演出氣泡的粒徑和密度。

本文針對經典共振譜法存在的問題，仿真分析了非諧振頻率的誤差，提出了一種分頻段反演方法，有效地解決了經典共振譜法存在的缺陷，提高了反演精度。

1 共振譜反演方法

共振估計法的假設是只考慮氣泡的共振效應，忽略非共振頻段的聲衰減影響。

假設氣泡半徑為a，入射聲波波長為λ，聲波波數為K,且Ka≤1。由于本文主要考慮非共振效應對反演結果的影響，所以對于共振譜法在特別高頻范圍（如10 000 kHz以上）不滿足前提條件Ka≤1而影響到在高頻段的反演效果的情況，不給予考慮。結合散射截面與衰減截面，可以推導出聲衰減系數積分公式[2]：

式中：α1(f)為聲衰減系數，dB/m；n(a)為氣泡分布m3/m；δ為總阻尼系數；f為入射頻率；f0為氣泡共振頻率；c為聲速；a1和a3分別為半徑的最小值和最大值。

在共振條件下，衰減最大。通過推導氣泡半徑、入射頻率以及共振頻率與聲衰減系數的關系公式，從而計算出聲衰減系數。

入射聲波頻率與共振半徑關系為：

式中：γ為空氣比熱比，一般取1．4；P0為靜壓力；ρ為空氣密度。

基于共振假設，只有入射頻率對應的共振半徑的氣泡才會使信號發生衰減，其他半徑氣泡對非共振頻率的聲衰減沒有影響。因此可以對聲衰減系數積分公式進行簡化，得：

進一步對積分內簡化，可得氣泡分布的共振估計反演公式：

式中：δor為輻射阻尼，與聲速有關:

2 仿真結果及誤差分析

為了檢驗共振譜法的反演效果，假設實際氣泡分布遵循高斯分布：

式中：φ0為孔隙率。孔隙率取 0．000 05，數學期望μ以及方差σ取0．000 06，氣泡半徑a范圍在20～250 μm。為了提高運算效率，入射頻率范圍為1～200 kHz，由此得反演如圖1所示。

圖1 仿真環境分布（紅線）以及反演分布（綠線）

圖1中反演誤差出現在小半徑區間，而與反演結果密切相關的是聲衰減系數，所以分析聲衰減系數的差異有利于找出反演誤差的來源。實際聲衰減系數由式（1）計算，共振近似聲衰減系數可由反演分布代入式（4）計算。實際聲衰減系數和共振近似聲衰減系數的比較結果如圖2所示。

圖2 仿真環境聲衰減系數（綠線）以及反演聲衰減系數（藍線）

圖2中在低頻段范圍，實際聲衰減系數與反演聲衰減系數吻合較好，而在高頻段范圍內，反演聲衰減系數與實際聲衰減系數偏差隨頻率增大而增大。由式(2)可知，圖2中的高頻段范圍對應圖1的小半徑區間，說明小半徑范圍內的反演誤差是由于高頻段衰減系數錯誤估計導致的。而聲衰減系數的錯誤估計來源于共振假設：只有入射頻率所對應共振半徑的氣泡才會使信號發生衰減，其他氣泡對信號衰減無影響。共振譜法計算聲衰減誤差主要集中在高頻段，由此導致反演結果在小半徑區間分布有較大誤差。

3 分頻段反演算法及結果

由于共振假設只考慮共振聲衰減，導致高頻段聲衰減與實際衰減有較大誤差，這一誤差會導致在較小半徑范圍出現錯誤的反演結果，無法應用于實際觀測中。針對這一誤差，本文提出了分頻段反演算法：先對低頻段進行分布反演，得到其聲衰減系數。利用低頻段反演的聲衰減系數消去全頻段反演的聲衰減系數的非共振效應，將得到的差值代入式(4)，即得到修正分布。

在仿真過程中，假設a2至a3為大半徑區間分布的半徑范圍，代入聲衰減公式：

得到低頻段的聲衰減系數α2，利用低頻段求得的α2消去原衰減α1中的高頻段非共振效應的影響，得到的是修正的共振衰減，即：

將差值代入式(4)，得到在a1到a2這段半徑范圍對應的新分布，結合a2至a3這段分布，可以得到修正后的分布：

在圖1中可以看到對于氣泡半徑大于100 μm部分,反演分布與實際分布吻合，即可取100～250 μm作為吻合較好分布的半徑范圍，通過分頻段反演方法得到20～100 μm的新分布,修正后的分布如圖3所示。

圖3 仿真環境、反演以及修正分布

在圖3中，修正分布與實際分布在小半徑區間的符合程度更好，在20～250 μm范圍內基本都吻合較好。說明本文提出的分頻段反演算法比原反演算法效果更好，誤差更小。修正前和修正后對應的聲衰減系數分布如圖4所示。

圖4 低頻段反演聲衰減系數以及仿真環境聲衰減系數

從圖4可知，利用修正后分布來反演聲衰減系數，雖然依舊存在反演誤差，但反演結果在高頻段有了極大的改善。和仿真結果吻合較好。

以上的仿真實驗表明：分頻段反演修正法，能夠有效減小反演誤差，提高反演準確度。

4 結論

經典共振譜法在進行水中氣泡分布反演時，在小半徑區間范圍內反演結果存在較大誤差。誤差來源是聲衰減系數在高頻下共振近似誤差。共振譜法計算出的聲衰減誤差主要集中在高頻段，說明共振估計法在高頻條件下不適用。

對于共振估計法在高頻下的誤差，本文提出了一種分頻段反演算法通過低頻段分布與實際聲衰減系數相減得到的差值，對共振衰減進行修正，得到反演效果更好的修正分布。

本文為了說明分頻段的效果，只是簡單地分為了2段，對抑制非共振效應有明顯的效果，但是完全消除非共振的影響需要更為精細的分段以及反演方案。所以非共振效應的影響依舊較大，以及在高頻下存在著聲速頻散現象，是反演結果依舊存在誤差的原因。

在小半徑區間內，本文提出的分頻段反演分布吻合情況比原反演分布更好。分頻段反演修正法可以有效減少反演誤差并提高反演準確度。

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