淺談多元函數(shù)的極限的存在性

張志會

摘 要 本文主要闡述了在計算多元函數(shù)的極限時，討論多元函數(shù)的極限是否存在。

關鍵詞 多元函數(shù) 極限

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A

0引言

一元函數(shù)的微積分，所討論的均是單變量函數(shù)，在現(xiàn)實生活中，這樣的情形是少數(shù)。在很多實際問題中，往往牽涉到多方面因素，反映到數(shù)學上，就是一個變量依賴于多個變量的情形，這就提出了多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微分和積分問題。在一元函數(shù)中，如果，當且僅當，即當時，的極限存在，只需要左極限和右極限同時存在且相等即可。對于多元函數(shù)來說，極限存在的要求更復雜。要討論極限是否存在，只有當以任何方式趨于點時，對應的函數(shù)值趨近于確定的常數(shù)A，才能說有極限。反之，如果沿著兩條不同的路徑趨于點，函數(shù)值趨于不同的常數(shù)，那么函數(shù)的極限不存在。本文主要闡述了在計算多元函數(shù)的極限時，要討論多元函數(shù)的極限是否存在。

1證明極限不存在

解 顯然當點沿軸趨于點時，

又當點沿軸趨于點時，

雖然點以上述兩種特殊方式（沿軸或沿軸）趨于原點時，函數(shù)的極限存在并且相等。但并不存在，這是因為動點沿直線趨近于點時，有容易看出函數(shù)極限的值隨的不同而改變的

例如當時，極限值為0

當時，極限值為

所以極限不存在。

2討論極限是否存在，說明理由

解 顯然，當點沿軸趨于點時，

又當點沿軸趨于點時，

雖然點以上述兩種特殊方式（沿軸或沿軸）趨于原點時，函數(shù)的極限存在并且相等。但并不存在，這是因為動點沿直線趨近于點時，極限為0；動點沿直線時，極限為1，因為兩個極限不相等，所以極限不存在。

參考文獻

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