弱導數意義下的Landau型不等式

曹德賢　鄭明　李娌芝　官心果

摘 要 目前，很多學者針對Landau型不等式做出了研究，但是對于導數為弱導數意義下是否成立一直沒有人去驗證，證明的方法與普通意義下不等式的證明類似，根據Hille-Yosida生成定理，通過弱導數算子可生成相應的半群，結合半群的性質可以證明一些弱導數意義下的Landau型不等式。

關鍵詞 Landau型不等式 弱導數 壓縮強連續半群

中圖分類號：O174.14 文獻標識碼：A

不等式理論在數學理論中有重要的地位，以1928年Chebyshev發表的論文和1934年G.Plya出版的書為不等式理論的重要轉折點，如今不等式理論已發展為一門獨立系統的學科。Landau型不等式就是這個時期得到了發展，該不等式在函數逼近論和微分方程方向中都有很重要的應用，Landau在1913年最早開始研究這個類型不等式：

該文章主要考慮了此不等式中的導數為弱導數情形下是否仍然成立的情況，弱導數定義如下：

設，如果存在且滿足：

就稱是在區域上的階弱導數。

本文的主要結果有：

定理1：

在弱導數意義下有：

定理2：

在弱導數意義下有：

1基本引理

引理1：設是半群的無窮小生成元， 滿足如果，則：

證明：由半群性質可得，當時，有

所以有，

取，帶入得：.

2定理的證明

定理1：設，.算子定義為：

， 其中導數為弱導數，v為常數

因為而是的稠子集，則此算子是稠定的

對于，有.

由我們可以得出：

并且得到

其中，

所以，并且

因此，根據Hille-Yosida生成定理，算子生成上的一個強連續壓縮半群.

由引理1知：

又由壓縮半群定義知上式的M=1，再帶入算子得：

定理2： 取設常數 ，定義算子：

其中的導數為弱導數。

下面證明此算子自伴，且有

（1）

并且對于，有

（2）

由得到是稠定的. 有

所以是稠定對稱算子.對于，令

則，且因此，表明.故自伴且.

設取主值支.由 得到

.

由得到非零的條件為

即 所以由得到

相應于，由得到其解為

，

其中， 可任取.且

于是有

另一方面，對于，由，有

得到：

其中， 且

于是， 且對 與有

.

從而，對于與 有

再由（1）知， ，故（1）式成立。

對于，有，所以

設非零，對于滿足的唯一 ，有

，

因此，當時，有

.

即式（2）得證.

因此，根據Hille-Yosida生成定理，算子A生成 上的一個強連續壓縮半群。

同理可：

3結束語

將普通導數意義下的不等式推廣到弱導數意義下雖然只證明了情形下的兩個不等式 ，但對于其他情形，比如，也可用類似的方法證明。

作者簡介：曹德賢（1991.10-），男，碩士研究生，主要研究方向：函數逼近論。

參考文獻

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