二項(xiàng)分布與泊松分布教學(xué)探析

朱華

摘 要 二項(xiàng)分布與泊松分布是離散型隨機(jī)變量的兩個(gè)重要分布，具有非常重要的實(shí)際意義。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生理解并運(yùn)用公式去解決實(shí)際問題，體會(huì)概率在生活中的魅力，達(dá)到學(xué)以致用的目的。

關(guān)鍵詞 二項(xiàng)分布 泊松分布 教學(xué)初探

中圖分類號(hào)：O211.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在日常生活中處處都和概率有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此，在概率論的教學(xué)中應(yīng)以生活為出發(fā)背景，理論聯(lián)系實(shí)際。二項(xiàng)分布與泊松分布是離散型隨機(jī)變量的兩個(gè)重要分布，與實(shí)際聯(lián)系緊密，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的兩個(gè)難點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)學(xué)生照搬公式，照葫蘆畫瓢，出現(xiàn)很多漏洞。筆者通過幾年來對(duì)概率論課程的教學(xué)研究，反復(fù)總結(jié)自己多次教學(xué)過程的優(yōu)缺點(diǎn)，結(jié)合小概率原理，以此調(diào)動(dòng)學(xué)員的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)員用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

實(shí)例1：設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需要經(jīng)過4盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以的概率允許或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時(shí)，它已經(jīng)通過的信號(hào)燈盞數(shù)（設(shè)各信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的），求X的分布律。

實(shí)例2：設(shè)書籍上每頁的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布。經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁，每頁上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率。

實(shí)例3：設(shè)騎一次摩托車出事故的概率為0.02，獨(dú)立重復(fù)400次，求至少出2次事故的概率。

實(shí)例4：由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售額可以用參數(shù) =10的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，試問商店在月底至少應(yīng)該進(jìn)這種商品多少？

1二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布實(shí)質(zhì)即為貝努里定理的全部情形，是獨(dú)立性問題的典型應(yīng)用，為此，關(guān)于獨(dú)立性的理解一定要充分。

如實(shí)例1：

汽車通過信號(hào)燈只有兩種可能：紅燈或者綠燈。這是很典型的貝努里試驗(yàn)，但這與貝努里定理有區(qū)別，X表示首次遇到紅燈時(shí)通過的信號(hào)燈盞數(shù)，我們不妨以p表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的概率，則汽車通過的概率為1p，0

以p=代入得P（X=k）=（1）k=（）k+1，k=0，1，2，3，4

實(shí)際上，p（1p）k，k=0，1，2，3，4是幾何級(jí)數(shù)p（1p）k的一般項(xiàng)，于是人們稱它為幾何分布。

二項(xiàng)分布是指n次獨(dú)立的貝努里試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率。

如：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊10次，試求恰好擊中5次的概率。

解析：將每次射擊看成一次試驗(yàn)。設(shè)擊中的次數(shù)為X，則X～B（10，0.02）.

X的分布律為P（X=k）=Cpk（1p） 10-k=C0.02k（10.02）10-k，k=0，1，2，…，10于是所求概率為：P（X=5）=C0.025（10.02）

2泊松（Poisson）分布

體積相對(duì)小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù) 可以由觀測(cè)值的平均值求出。

實(shí)際問題中若干隨機(jī)現(xiàn)象是服從或近似服從Poisson分布的：

服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X；

交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y；

礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù)；

顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；

單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目

如實(shí)例2：

解析：書籍上每頁的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁數(shù)相同，所以可得：P（X=1）=P（X=2），即e- =e- ，算得 =2；

于是X～P（2），每頁的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為0的概率P（X=0）=e-2=e-2；

任意檢驗(yàn)4頁，每頁上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率為（e-2）4=e-8；

本例是泊松分布與二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用。

3二項(xiàng)分布的泊松近似

在二項(xiàng)分布中，要計(jì)算P（X=k）=Cp（1p），當(dāng)n比較大時(shí)，計(jì)算量是令人煩惱的，如果這時(shí)np不太大，那么有泊松定理就有

B（k，n，p）≈e-

其中 =np，而要計(jì)算e- ，有專用的泊松分布表可查，這就方便多了。

實(shí)例3

解析：設(shè)騎摩托車發(fā)生事故的次數(shù)為X，則X～B（400，0.02）

至少出2次事故的概率P（X≥2）=1P（X≤1）=1P（X=0）P（X=1）=10.98400C14000.021（10.02）400-1

令 =np=4000.02=8，查泊松分布表k=0及（下轉(zhuǎn)第145頁）（上接第143頁）k=1的值，可得

P（X≥2）=1P（X≤1）=1P（X=0）P（X=1）≈10.0030.0027=0.997

4泊松分布的實(shí)際應(yīng)用

由于許多實(shí)際問題中的隨機(jī)變量都可以用泊松分布來描述，從而使得泊松分布在概率論中有著廣泛的應(yīng)用。

實(shí)例4：

解析：設(shè)該商店每月銷售某種商品x件，月底的進(jìn)貨為a件，則當(dāng)x≤a時(shí)就不會(huì)脫銷，因而按題意要求為：

P（X≤a）≥0.95

因?yàn)橐阎猉服從 =10的泊松分布，也就是

e-10≥0.95

查泊松分布知

e-10≈0.9166<0.95

e-10≈0.9513>0.95

于是，這家商店只要在月底進(jìn)這種商品15件（假定上個(gè)月沒有存貨），就有95%以上的把握保證這種商品在下個(gè)月內(nèi)不會(huì)脫銷。

5小結(jié)

二項(xiàng)分布與泊松分布在實(shí)際中有著非常廣泛的應(yīng)用，本文從實(shí)際出發(fā)介紹了兩個(gè)分布的具體應(yīng)用方法，重點(diǎn)是要弄清本質(zhì)再多加練習(xí)。

參考文獻(xiàn)

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