二項分布與泊松分布教學探析

朱華

摘 要 二項分布與泊松分布是離散型隨機變量的兩個重要分布，具有非常重要的實際意義。筆者結合教學實踐，引導學生理解并運用公式去解決實際問題，體會概率在生活中的魅力，達到學以致用的目的。

關鍵詞 二項分布 泊松分布 教學初探

中圖分類號：O211.3 文獻標識碼：A

在日常生活中處處都和概率有著千絲萬縷的聯系，因此，在概率論的教學中應以生活為出發背景，理論聯系實際。二項分布與泊松分布是離散型隨機變量的兩個重要分布，與實際聯系緊密，也是學生學習過程中的兩個難點，經常出現學生照搬公式，照葫蘆畫瓢，出現很多漏洞。筆者通過幾年來對概率論課程的教學研究，反復總結自己多次教學過程的優缺點，結合小概率原理，以此調動學員的學習熱情，提高學員用概率知識解決實際問題的能力。

實例1：設一汽車在開往目的地的道路上需要經過4盞信號燈，每盞信號燈以的概率允許或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時，它已經通過的信號燈盞數（設各信號燈的工作是相互獨立的），求X的分布律。

實例2：設書籍上每頁的印刷錯誤的個數X服從泊松分布。經統計發現在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率。

實例3：設騎一次摩托車出事故的概率為0.02，獨立重復400次，求至少出2次事故的概率。

實例4：由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售額可以用參數 =10的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，試問商店在月底至少應該進這種商品多少？

1二項分布

二項分布實質即為貝努里定理的全部情形，是獨立性問題的典型應用，為此，關于獨立性的理解一定要充分。

如實例1：

汽車通過信號燈只有兩種可能：紅燈或者綠燈。這是很典型的貝努里試驗，但這與貝努里定理有區別，X表示首次遇到紅燈時通過的信號燈盞數，我們不妨以p表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則汽車通過的概率為1p，0

以p=代入得P（X=k）=（1）k=（）k+1，k=0，1，2，3，4

實際上，p（1p）k，k=0，1，2，3，4是幾何級數p（1p）k的一般項，于是人們稱它為幾何分布。

二項分布是指n次獨立的貝努里試驗中事件A恰好發生k次的概率。

如：某人進行射擊，設每次射擊的命中率為0.02，獨立射擊10次，試求恰好擊中5次的概率。

解析：將每次射擊看成一次試驗。設擊中的次數為X，則X～B（10，0.02）.

X的分布律為P（X=k）=Cpk（1p） 10-k=C0.02k（10.02）10-k，k=0，1，2，…，10于是所求概率為：P（X=5）=C0.025（10.02）

2泊松（Poisson）分布

體積相對小的物質在較大的空間內的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數 可以由觀測值的平均值求出。

實際問題中若干隨機現象是服從或近似服從Poisson分布的：

服務臺在某時間段內接待的服務次數X；

交換臺在某時間段內接到呼叫的次數Y；

礦井在某段時間發生事故的次數；

顯微鏡下相同大小的方格內微生物的數目；

單位體積空氣中含有某種微粒的數目

如實例2：

解析：書籍上每頁的印刷錯誤的個數X服從泊松分布，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數相同，所以可得：P（X=1）=P（X=2），即e- =e- ，算得 =2；

于是X～P（2），每頁的印刷錯誤的個數為0的概率P（X=0）=e-2=e-2；

任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率為（e-2）4=e-8；

本例是泊松分布與二項分布的綜合應用。

3二項分布的泊松近似

在二項分布中，要計算P（X=k）=Cp（1p），當n比較大時，計算量是令人煩惱的，如果這時np不太大，那么有泊松定理就有

B（k，n，p）≈e-

其中 =np，而要計算e- ，有專用的泊松分布表可查，這就方便多了。

實例3

解析：設騎摩托車發生事故的次數為X，則X～B（400，0.02）

至少出2次事故的概率P（X≥2）=1P（X≤1）=1P（X=0）P（X=1）=10.98400C14000.021（10.02）400-1

令 =np=4000.02=8，查泊松分布表k=0及（下轉第145頁）（上接第143頁）k=1的值，可得

P（X≥2）=1P（X≤1）=1P（X=0）P（X=1）≈10.0030.0027=0.997

4泊松分布的實際應用

由于許多實際問題中的隨機變量都可以用泊松分布來描述，從而使得泊松分布在概率論中有著廣泛的應用。

實例4：

解析：設該商店每月銷售某種商品x件，月底的進貨為a件，則當x≤a時就不會脫銷，因而按題意要求為：

P（X≤a）≥0.95

因為已知X服從 =10的泊松分布，也就是

e-10≥0.95

查泊松分布知

e-10≈0.9166<0.95

e-10≈0.9513>0.95

于是，這家商店只要在月底進這種商品15件（假定上個月沒有存貨），就有95%以上的把握保證這種商品在下個月內不會脫銷。

5小結

二項分布與泊松分布在實際中有著非常廣泛的應用，本文從實際出發介紹了兩個分布的具體應用方法，重點是要弄清本質再多加練習。

參考文獻

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