淺談實數集的完備性

張芳

摘 要 實數集的完備性是實數集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數集的完備性。本文用不同的方式分別證明了實數集基本定理的等價性，以及其與數域有關。這是是對實數集完備性基本定理等價性的系統的論述，讓我們獲得了對實數集完備性的基本特征的進一步的認識和理解。

關鍵詞 實數集 完備性 基本定理 數域

中圖分類號：O143 文獻標識碼：A

1基本概念

實數集完備性基本定理：確界定理、單調有界原理、區間套定理、有限覆蓋定理、柯西收斂定理、緊致性定理。 這六個定理是從不同角度描述了實數集的一個性質：實數集關于極限運算是封閉的，即實數的連續性。它們之間相互等價，均可作為公理。以上的定理表述如下：

確界定理：在實數系R內，非空的有上（下）界的數集必有上（下）確界存在。

單調有界原理：若數列單調上升有上界，則必有極限。

區間套定理：設是一個區間套，則必存在唯一的實數r，使得r包含在所有的區間里，即。

有限覆蓋定理：實數閉區間[a，b]的任一覆蓋E，必存在有限的子覆蓋。

緊致性定理：有界數列必有收斂子數列。

柯西收斂定理：在實數系中，數列有極限存在的充分必要條件是：

，，當，時，有。

2六大基本定理等價性證明

首先列出證明過程的基本框架：

確界原理單調有界定理區間套定理

柯西收斂準則 聚點定理 有限覆蓋定理

文[1]給出了確界原理單調有界定理區間套定理有限覆蓋定理，以及柯西收斂準則確界原理的證明。本文補充課本上有限覆蓋定理聚點定理柯西收斂準的證明，完成整個循環證明的過程。

2.1由有限覆蓋定理證明聚點定理

證明：設A 為有界無限點集 。那么存在正數M>0 ，使得 。

假設中任意點都不是A 的聚點，則對任意一點， 必存在相應的>0 使得在中至多有A 的有限個點。記，則H 為A 的一個開覆蓋 。

由有限覆蓋定理，在H中可以找到有限個開區間覆蓋。記為，從而更能覆蓋A 。

因內至多含有A 中有限個點，從而A為有限點集，與假設“ A 是有界無限點集”矛盾。故區間中至少有一個集合A的聚點，即集A至少有一個聚點。

2.2由聚點定理證明柯西收斂準則

證明：先證條件的必要性：設，則對任意給定的>0，有一正整數N當k>N時，有。從而當m，n>N 時，有。

其次，證明條件的充分性：設數列滿足條件：對任給正數，總存在某一個自然數N，使得當m、n>N 時，都有 。

取，則存在自然數，當n>時，有 ，從而 ，

令，則對一切， 有，即有界。

下證有收斂子列 。

若是有限集，則必有一常子列；若E 為無限集，則由聚點定理，E有一個聚點 A。由聚點定義可證，存在，使。總之， 有收斂子列 。設，則對任給正數，存在N，當k， m， n>N時，有 ， 。

所以當 n>N（任取 k>N，使 ）時，有

。

故。

3實數集完備性基本定理等價性與數域有關

確界定理、單調有界原理、區間套定理、有限覆蓋定理、柯西收斂定理、緊致性定理，這六個定理在實數系中這六個命題是相互等價的，在有理數系中這六個命題不成立，下面給出反例。

反例1：（確界原理），

即S在有理數集沒有確界。確界原理在有理數域不成立。

反例2：（單調有界定理） {（1+）n}是單調有界有理數列。

即數列的單調有界定理在有理數域不成立。

反例3：（區間套定理）取單調遞增有理數列{an}使an→，

取單調遞減有理數列{bn}，使bn→，

則有理數域內構成閉區 間套 [an，bn]Q，

其在實數系內唯一的公共點為Q

所以區間套定理在有理數系不成立。

反例4：（有限覆蓋定理）

設[1，2]Q表示[1，2]中所有有理數的集合，

x∈[1，2]Q， 有理數rx，使（xrx，x+rx）

令H={（xrx，x+rx）|x∈[1，2]Q}則H是[1，2]Q的一個開覆蓋，則在r與之間所有有理數都在上述n個區間之外。

即H的任意有限覆蓋都不能覆蓋[1，2]Q。

反例5：（致密性定理）設數列其極限為無理數e，從而任一子列均收斂于e。

故有理數域內沒有收斂的子列。

反例6：（柯西收斂準則） 滿足Cauchy條件的有理數列，但其極限是無理數e。

4定理作為工具運用的特點

確界定理：構造數集，使其具有某種性質，并將這種性質傳遞到數集的確界，使確界之后的數不可能具備該性質。

區間套定理：從構造過程中，使某種性質從第一個區間開始傳遞到第二個閉區間，再從第二個區間推到第三個區間……。如此繼續下去，直到將這個性質聚到區間套所共有的點的任意附近。

緊致性定理：從數列的極限理論，我們知道收斂數列一定有界，但有界數列不一定收斂。在一系列需要構造收斂數列的分析問題中，往往一開始構造一個有界數列，然后由緊致性定理得出子列，也即緊致性定理，讓我們從“混亂”的數列中找出了“秩序”。

有限覆蓋定理：在分析問題過程中，往往可以從局部性質推向整體性質，特別是將有限覆蓋與反證法相結合，往往可以推出矛盾。

柯西收斂定理：完全數列本身出發，由于它給出的是極限存在的充分必要條件，不需要先假定極限的存在，相比極限的定義來說，這是一個很大的進步。

5等價性證明過程中發現的結論

（1）從用有限覆蓋定理證明緊致性定理和用確界定理證明緊致性定理中，我們都證明了一個結論：有界數列必有子數列。而我們發現，其實這是一個充分必要條件。將其推廣到數集上，我們正是得到數集聚點的兩個等價定義。

用類似證緊致性定理的方法也可證的聚點定理。即

聚點定理：直線上的有界無限點集S至少有一個緊致性。

證明：∵ S有界，∴ M>0，使S [-M，M]，再二等分此區間，則必有一區間包含S的無限多個點，記該區間…… 如此繼續下去，我們得到一區間套，每個區間內含有S 的無限多個點。

由區間套定理，得 唯一的c，使兩個區間斷點的極限相等，且為c。

∵ 每個小區間內含有S 的無限多個點。

∴ C是S的一個緊致性。定理證完。

可見，緊致性定理是聚點定理的推論。

（2）由單調有界定理證明緊致性定理的第二種證法，我們可以得出結論：任何數列都有單調子數列。有界數列已證。而無界數列也有單調子數列。

這個結論雖然與實數系無關，但將它用于有界數列，再利用單調有界定理，就可以得到緊致性定理。

6結語

正如在任何語言中，同一思想可以用多種表達方法一樣，同一個數學事實可以有不同的表達方式和不同的證明方法。而在證明過程中，我們不只檢驗了定理，而且對定理有了更深的理解。不同的證明還啟迪了我們的思維，交流了數學思想，導致了我們的發現。我想，隨著對數學的深入學習，數學呈現給我們的是一個更加精彩的世界，其中的發現更是無窮無盡的。

參看文獻

[1] 華東師范大學數學系.數學分析[M].上海：高等教育出版社，2010.

[2] 歐陽廣中，姚允龍，周淵.數學分析[M].上海：復旦大學出版社，2003.

[3] 王向東，高成修，安楓靈.數學分析的概念與方法[M].上海：上海科學技術文獻出版社，1988.endprint