巧用對比方法，輕松學習“實數”

吳琳

“實數”屬于“數與代數”領域.同學們在七年級上學期已經系統地學過有理數，對有理數的概念和運算等有了比較深刻的認識.本章是在有理數的基礎上學習實數的初步知識.本章的特點是新概念比較多，比如實數、無理數、平方根、算術平方根、立方根等.在學習過程中，如果不能準確地認清這些概念，不能識別這些概念之間的聯系和區別，那么，在解題過程中，就會經常產生混淆，出現錯誤.怎樣才能學好“實數”這一章的內容呢？剛才已經提到了，實數是在學習了有理數的基礎上進行的，許多有理數的概念和運算可以“平移”到實數中來，這就給我們一個啟示，把一些容易產生混淆的概念放在一起，運用對比的方法進行學習，可以提高學習效率.

一、利用概念的從屬關系進行對比

概念的從屬關系即如果有兩個概念，一個是大概念，另一個是小概念，則大概念包括小概念，小概念包含在大概念之中.

比如，實數和有理數這兩個概念.

什么是有理數？在七年級的時候，我們學過，整數和分數統稱為有理數.什么是實數？有理數和無理數統稱為實數.從這兩個概念的定義中不難發現，實數與有理數這兩個概念屬于從屬關系，實數包含有理數，但實數不一定都是有理數，它也可能是無理數，而有理數一定是實數.比如[2]不是有理數，但它是實數.以上是這兩個概念的區別，兩個概念之間也有聯系.有理數中的有關概念，比如相反數、絕對值可以推廣到實數，有理數的運算（如加、減、乘等）以及運算律、運算性質（如交換律、分配律、結合律等）在實數范圍內仍然成立.

再比如平方根和算術平方根這兩個概念.如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根，如果a是一個正數，那么a的平方根就有兩個，比如4的平方根就有兩個，這兩個數分別是2和-2，其中2又叫作4的算術平方根.因此，平方根一定包括算術平方根，但不一定是算術平方根，而算術平方根一定屬于平方根.

通過以上的對比學習，兩個概念是不是可以弄得更清楚了？

二、利用概念的本質區別進行對比

兩個概念如果在內涵上是完全對立的，有著本質上的區別，那么，這兩個概念也可以放在一起進行對比學習.

比如，無限循環小數與無限不循環小數.無限循環小數是無限小數的一種情形，就是從小數點后某一位開始不斷地重復出現前一個或幾個數字的無限小數.實際上，每一個無限循環小數都能夠轉化成分數的形式，因此，無限循環小數實際上屬于有理數.無限不循環小數的小數點后雖然也有無數個數，但是不循環，無限不循環小數又稱為無理數.比如判斷[13]是有理數還是無理數，有的同學發現，[13]化成小數時除不盡，就判定[13]是一個無理數，這就錯了.任何一個分數都可以轉化為小數的形式，其中有的分數化為小數后是有限小數，比如[12]化成小數后就是一個有限小數0.5，而有的分數化成小數后是一個無限循環小數，比如[13]化成小數后就是一個無限循環小數0.3，因此，[13]是一個有理數.所以，對于無限循環小數與無限不循環小數這兩個概念來說，本質上一個屬于有理數，另一個則屬于無理數.

三、利用概念的相似特征進行對比

如果兩個概念不相同，但是具有一些非常相似的特征，這時候，把這兩個概念放在一起，通過對比的方法進行學習可以更好地理解和掌握.

比如，平方根和立方根這兩個概念.

從定義角度看，這兩個概念的定義方式是完全一樣的：如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根；如果一個數的立方等于a，那么這個數叫作a的立方根.求一個數的平方根的運算叫作開平方，求一個數的立方根的運算叫作開立方.開平方與平方互為逆運算，開立方與立方互為逆運算.

以上是這兩個概念相似的地方，兩個概念也有區別.根據定義，只有非負數才有平方根，其中正數的平方根有兩個，且互為相反數，0的平方根是0，負數沒有平方根；而任何一個數都有立方根，這個數可以是正數、負數，也可以是0，一個數的立方根只有1個.比如，64的平方根是8和-8，64的立方根就是4，-64沒有平方根，但-64的立方根是-4.

另外，在本章的學習過程中，我們也可以把有理數與數軸上的點之間的關系和實數與數軸上的點之間的關系進行對比學習.

總之，對比是一種非常有效的數學學習方法，同學們在以后的數學學習中要注意不斷地領會，并加強運用.

（作者單位：江蘇省南通市崇川學校）endprint