KM教學法在高等數學教學中的應用與探索

曹秀娟+王言英

【摘要】KM教學法是將知識邏輯結構和思維形式注記相融合的教學方法，既考慮宏觀的知識框架和內在聯系，又考慮微觀的邏輯推演特征。以高等數學教學為例，探討應用KM教學法的教學過程，并對教學效果進行評價。

【關鍵詞】KM教學法 知識邏輯結構圖 思維形式注記圖 教學效果

高等數學作為高校理工科專業的一門核心基礎課程，是一門重要的考研統考課程。它不但為大學數學后繼課程《線性代數》《概率論與數理統計》、《復變函數與積分變換》等提供必要的數學基礎，而且對于提高學生的理論素質，培養學生嚴謹的科研作風，加強學生分析問題、解決問題的能力具有至關重要的作用。可以說，它對于學生知識、能力、素質的培養具有承前啟后的重要作用。高等數學作為數學的高級階段，抽象思維占主導地位，本身是一個有機整體，各章節、各知識點之間有著深層且密切的聯系，思維深度大大增加，在課時有限的條件下，要做到清晰記憶理解定義，嚴謹推導定理公式，靈活運用知識點解決問題，確實不是件容易的事。因此，利用現有資源和教學手段，借助先進有效的教學理論，推進高等數學教學實踐研究，提高高等數學教學效果，具有重要的現實意義。

一、KM教學法介紹

KM教學法即知識邏輯結構（Knowledge Logic Structure）與思維形式注記（Learning in Mind Form）相融合的教學法，是北京科技大學教授楊炳儒經過長期的教學研究與教學實踐提出的，是在宏觀實施過程中融入微觀的思維形式注記圖的教學方法。其宗旨是以學生學習為主體，使學生快速獲取并牢固掌握知識，從而提高教學質量的教學方法。

KM教學法的核心是由宏觀層面與微觀層面所構成的相輔相成的知識系統。宏觀層面的主要表達方式是知識邏輯結構圖，給出知識系統的總體框架，顯示各知識子系統的內在聯系。微觀層面的主要表達方式是思維形式注記圖，是思維導圖融入到概念、證明、問題求解等環節，揭示其思路和演繹。

KM教學法要求教師在授課過程中有整體觀，指導思想方面，講授者在教學大綱框架下，遵照理論發展的內在邏輯性，以講授知識邏輯結構、理論框架和內在聯系為主，同時對思維活動加以引導；原則方面，堅持“先搭架，后填充，再誘導”和“少而精”；教學過程方面，體現由點到串到面，符合認知科學規律；教學內容方面，構建了立體化知識結構，便于記憶；教學方法方面，注重層次深化，注重結構化和融合性，充分利用思維形式注記圖的啟發誘導功能，還可以和啟發式教學法、探索式教學法、聯想式教學法相結合。

二、KM教學法在高等數學教學中的應用

1.高等數學課程的知識邏輯結構搭建

高等數學課程內容涉及一元函數微積分，多元函數微積分，空間解析幾何，微分方程和無窮級數等，知識點多，內在聯系密切，適合用KM教學法。按照KM教學法的核心思想，發揮學生主體認知作用，先從總體上給出課程的知識邏輯結構框架，將各部分知識進行有機集合，再在各子知識系統細化知識邏輯結構，構成知識網絡，引入思維形式注記圖。

首先考慮高等數學知識間的內在聯系，不但研究內容的橫向格局，還要研究縱向之間的關系，給出高等數學課程的立體化知識結構圖，如圖1所示。

然后，將圖1自上而下展開，對每一知識子系統包含的概念、性質、方法、定理等進行梳理、細化，形成各知識子系統的知識邏輯結構。

下面以“積分學”為例，細化其知識邏輯結構，如圖2所示。

2.KM教學法在高等數學課程中的實現

依照KM教學法的教學原理，以知識邏輯結構為基礎，分析各知識點的內在聯系，按照“抽點-連線-成網-擴展-嵌入”的流程設計教學過程。

（1）抽點。對高等數學逐節、逐章，逐單元的，從個別到一般的剖析，抽象出每部分的概念、性質、定理、方法、技巧，舍棄細枝末節，抽取框架結構。上述“積分學”部分的抽點為：

不定積分部分：定義，不定積分與導數的關系，性質，積分方法；定積分部分：概念，性質，微積分基本公式，積分方法，反常積分；二重積分部分：概念、性質，計算方法，直角坐標，極坐標，應用；三重積分部分：概念、性質，計算方法，直角坐標，柱面坐標，球坐標，應用；曲線積分部分：對弧長的曲線積分的概念，性質，計算方法，對坐標的曲線積分的概念，性質，計算方法，格林公式，曲線積分與路徑無關的條件；曲面積分：對面積的曲面積分概念、性質、計算方法，對坐標的曲面積分的概念、性質、計算方法，高斯公式，斯托克斯公式，應用。

（2）連線。連線是按照知識間的內在聯系，從同一知識域到相關知識域，從局部擴大到片，尋找主線，形成“點”間的知識鏈。

（3）成網。按照知識點間的聯系，由淺入深，由簡到繁，有具體到抽象形成多層次知識網絡。

（4）擴展。以知識網絡為框架，沿著水平和垂直方向進行擴充，補充和豐富每一部分的重點和難點。

（5）嵌入。將思維導圖的思想融入知識網絡，分析各知識點間的內在聯系，豐富知識網絡，形成系統的，具有豐富知識細節的立體知識結構——思維形式注記圖。積分學中“計算方法”的思維形式注記圖如圖3所示。

三、KM教學法在大學數學教學中的探索

《高等數學》與后繼大學數學課程，如《概率論與數理統計》等緊密相關，不僅它的許多內容是后繼大學數學課程的基礎，而且其數學思想和研究方法也對后繼數學課程產生許多有益的影響。高等數學有關內容作為概率統計的基礎和應用主要體現在以下幾個方面：

（1）無窮級數與離散型隨機變量。在判斷離散型隨機變量數學期望是否存在時，求離散型隨機變量的有關數字特征時，都要用到無窮級數求和的問題，涉及到級數的一般變形和收斂級數的逐項積分和逐項求導的性質等。

（2）微積分與連續型隨機變量。不論是一維隨機變量還是二維隨機變量，其分布函數與概率密度的計算，都會用到高等數學中微積分的知識。如一維隨機變量的分布函數這里是一個圖片與概率密度這里是一個圖片有關系：這里是一個圖片，已知分布函數求密度需要求導，已知密度求分布函數需要積分。

（3）數學思想和研究方法的類比。高等數學從一元函數微積分推廣到二元函數微積分學習，運用類比、聯系的思想進行新知識的學習，符合學生的認知規律，有利于培養學生的創新思維和快速把握新知識。概率統計中，一維隨機變量到二維隨機變量的學習蘊含了同樣的類比思想。分布函數及其性質的類比，概率密度及其性質的類比，分布函數與概率密度相關計算的類比等。

鑒于高等數學與概率統計擁有密切的內在關系，KM教學法可在兩門課程的教學中進行探索。在高等數學教學中可作為鋪墊式教學，將高等數學對概率統計的作用展示，引起學生的重視；在概率統計教學中可復習高等數學相關知識，溫故知新，減少新知識的數量，降低新課程的學習難度。

四、教學效果

KM教學法理論上能夠調動學生學習的積極性和主動性，加強了思維的過程，符合學生學習新知識、接受新事物的認知規律。為了檢驗KM教學法的教學效果，在統考課程《高等數學》教學中，對通信工程2016級采用KM教學法授課，教學效果顯著，上下兩個學期的班級平均成績在期末統考中均位列第一。

參考文獻：

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[2]楊炳儒，馬楠，謝永紅.知識邏輯結構與思維形式注記教學法研究與探索[J].中國大學教學，2011，（04）.

[3]宋晏，楊國興，鄒廣慧，朱紅.基于知識邏輯結構與思維形式注記教學論的Java教學設計[J].工業與信息化教育，2014，（05）.endprint