如何運用“線段圖”解決行程問題

謝正榮

(合肥市徽州小學 安徽合肥)

引言

在一道行程問題解決過程中筆者發現學生解題的正確率很低，講評時畫出線段圖后再來理解題意就簡單多了。由此可見畫線段圖是解決這道行程問題的關鍵。在小學階段，線段圖在解決行程問題中有著怎樣的作用呢？如何讓線段圖成為學生解決行程問題而主動運用的有效策略呢？

一、一道行程問題的解題過程

甲、乙兩車同時從東西兩地相向開出，8小時后兩車在距中點32千米處相遇。已知甲車每小時行56千米，乙車每小時行多少千米？

學生呈現的解題過程都是設乙車每小時行x千米。列式為8x-32=56×8，解得x=60。列式為8x+32=56×8，解得x=52。列式為8x-32=56×8+32，解得x=64。 列式為8x+32=56×8-32，解得x=48。為什么會有四個不同答案呢？原來是“距中點32千米”不知道在算式中怎么表達。學生提議畫線段圖幫助理解題意并給大家示范，當甲車和乙車相聚點在中點左邊32千米處，也就是甲車的速度比乙車慢：

甲車8小時行駛的路程+32千米=乙車8小時行駛的路程-32千米，列式為8x-32=56×8+32。那當甲車和乙車相聚點在中點右邊32千米處，也就是甲車的速度比乙車快：

甲車8小時行駛的路程-32千米=乙車8小時行駛的路程+32千米，方程是8X+32=56×8-32。由此可見在解決此類問題時,如果學生能夠依據信息有序正確地畫出線段圖,就可以發現這些信息之間的聯系，自然而然就找到了解決問題的方法。

二、教材中運用線段圖策略解決行程問題的梳理

蘇教版義務教育教科書數學教材通過“加、減、乘、除”“千米的認識”以及“時、分、秒”等內容逐步滲透行程問題。最初的行程問題也只是通過簡單的加減法計算路程和時間。學習乘除法之后的解決問題會出現“速度”“路程”和“時間”等名詞，要求學生理解路程、時間、速度的概念以及它們之間的數量關系，利用乘除法的原理解決問題。從根據公式用已知量求未知量到分析題意求平均速度,學生對于行程問題的學習路徑其實是從“運用固定公式”到“分析數量關系”的過程。行程問題路線和方向的變化使題目中的數量關系越來越復雜，這時就需要借用線段圖將物體的行駛過程直觀地呈現出來，挖掘其中的數量關系。

三年級下冊教學畫線段圖解決問題的策略，要求學生說出數量之間的關系，四年級下冊利用線段圖解決問題數量關系越來越復雜，五六年級和方程、分數、比等知識融合在一起，更加注重學生分析和解決問題能力的發展。同時行程問題由簡單的求出兩地之間的距離、走了多少米、求速度或時間等擴展為復雜的相遇、相離以及追及問題。由于題型的復雜化,對學生畫圖的能力提出了更高的要求,線段圖的畫法更多樣,應用更靈活。

三、用線段圖解決行程問題的實踐

讓線段圖成為學生解決行程問題的策略，關鍵要讓學生在碰到復雜關系的行程問題時能想到畫圖解決問題的好處，自覺把“畫線段圖”內化為自己的解題策略，而這種意識需要在各個階段的學習中循序漸進地慢慢滲透。讓學生從模仿、實踐到靈活運用，以期達到對線段圖在行程問題中初步體會、充分體驗、靈活運用的目標，力求教學行程問題的效益達到最優化。

1．從模仿到實踐，深刻體會“線段圖”的功效

幾何直觀是2011年版數學課程標準提出的十大關鍵詞之一，即利用圖形描述和分析問題，其最直接的方法就是用線段圖或示意圖把抽象的數學問題直觀的表示出來，進而使條件與問題之間的聯系形象、生動地呈現出來。教材從三年級下冊教學嘗試利用圖形描述和分析問題，第31頁練習中用示意圖呈現了一個簡單的行程問題：少年宮到小悅家的距離是到小華家距離的3倍。求小華家與小悅家的距離以及少年宮到小華家比到小悅家近多少米。(圖1)借助線段圖分析和比較，學生更容易也更清晰地意識到這兩個問題都與“小華家到少年宮的路程”以及“小悅家到少年宮的路程”直接相關。

在四年級下冊在解決問題的策略單元專門教學畫圖描述問題、分析數量關系。課本第54頁練習八：一輛汽車從相距495千米的甲地開往乙地，行駛3小時后，剩下的路程比已經行駛路程多45千米。求這輛汽車的平均速度。(圖2)：

讓學生把示意圖補充完整，既幫助學生學會利用畫圖來整理題中的條件和問題，又可明了此題中的數量關系。畫圖描述問題的目的不僅在于方便分析數量關系，明確解題思路，更在于讓學生經歷自主構建線段圖的過程并在這一過程中發展空間觀念。

五年級下冊教學列方程解決實際問題，形如ax±bx=c和ax±b×c=d時，第14頁例10是一個典型的行程問題:兩地相距540千米，一輛客車和一輛貨車同時從兩地相向開出，3小時后相遇。客車的速度是95千米/時，貨車的速度?千米/時？(圖3)：

條件和問題通過線段圖來整理，圍繞列方程求貨車速度這一目標，并借助直觀尋找相應的等量關系，通過比較使他們認識到：依據等量關系“客車行的路程+貨車行的路程=總路程”或“速度和×相遇時間=總路程”，都可以列出合適的方程并由此求出貨車的速度。

第15頁練一練中的實際問題與例10相似，不同在于這兩艘船是從同一個碼頭往相反方向開出，告知甲船的速度是26千米/時，經過8小時兩船相距400千米。求乙船的速度。(圖4)學生借助線段圖整理條件和問題，明確題中的等量關系并列方程解答。

到六年級，行程問題、分數、比等知識融合在一起，第30頁的第2題：一輛汽車從甲地開往乙地，已經行駛了全程的30%，離乙地還有140千米。這輛汽車行駛了多少千米？(圖5)：

根據題意先把線段圖補充完整，看圖說說依據“已經行駛了全程的30%” 可以想到什么？再借助圖形直觀分析數量關系以此選擇合適的策略來解決問題并逐步形成相應的策略意識。

蘇教版教材中把線段圖補充完整的過程讓學生充分感受到線段圖的基本畫法和特征，再通過看圖理解題意找出等量關系又讓學生感受到線段圖可以把抽象的文字敘述轉化為直觀的圖形，可以化隱形為顯性把題目中隱藏的信息直觀呈現出來，如：甲、乙兩車同地自西向東行駛，甲車速度為每小時48千米，乙車速度為每小時72千米。甲車開出2小時后乙車開出，幾小時后甲車追上甲車？(圖6)：

設x小時后乙車追上甲車，通過畫圖后得到隱含條件:乙車x小時行駛的路程比甲車x小時行駛的路程多96千米。方程為(72-48)x=2×48，解得x=4。

2．靈活運用，讓線段圖“內化”為解決行程問題的策略

行程問題在每個學期的練習中都會以一定的頻率出現，借助線段圖來分析題意,使學生掌握問題的本質，能在準確理解等量關系的基礎上,建構起行程問題的數學模型,日積月累可以使線段圖內化為學生解決行程問題主動運用的有效工具。因此,當學生在解決行程問題時能主動運用“幾何直觀”去思考,此時利用線段圖解決問題已經成為一種有效的解題策略。

在相向和追擊問題中，如上面所提到的五年級下冊第14頁例10以及第15頁練一練，還有類似下面的題型：兩車分別以100千米/時和85千米/時的速度同時從A地開往B地。2.5小時后兩車相距多少千米？這些解決問題中都可以鼓勵學生只畫出線段圖的關鍵部分或在頭腦中想象出線段圖，既達到了分析數量關系的目的，又有利于鍛煉學生的想象能力，發展空間觀念，同時也為學生提供了適合自身實際的學習方式，使不同層次的學生都能在解決問題的過程中有所收益，有所發展。

線段圖是解決行程問題的有效工具，但不是唯一工具，在行程問題的追擊練習中還會經常出現環形跑道的題目，這時可以靈活運用示意來進行分析，如：甲、乙兩人沿著400米的環形跑道同時從同一地點出發，同向而行。甲的速度為280米/分，乙的速度是240米/分。經過多少分鐘甲第一次追上乙？ 甲、乙兩人在環形跑道上跑步。起跑時甲在乙前面15米，甲4米/秒，乙6米/秒，兩人都按逆時針方向跑，多少秒后乙追上甲？這兩題同樣是在環形跑道上跑步，要求經過多長時間甲第一次追上乙，審題后畫出簡單示意圖可以更清晰地看出這兩題都是同時同向出發，由于起點的不同導致第一次相遇時兩人的路程差也就不同，一個是在相同時間內甲跑的路程正好比乙多400米，一個是在相同時間內小紅跑的路程正好比小英跑的路程多15米。如果把題目 中的條件環形跑道和逆時針去掉，此時畫線段圖或畫環形跑道的示意圖都可用來分析題意。

華羅庚先生曾說過:數缺形時少直觀,形少數時難人微。數形結合百般好，割裂分家萬事休。線段圖作為幾何直觀的具體表現方式，有著極其重要的地位和作用。教師要從宏觀的角度分析教材，在學生經歷模仿、實踐到靈活運用的實踐過程后循序漸進地實踐線段圖的教學價值。