高中數學錯因分析法及其教學策略
——以一道概率題的錯因分析為例

董留蕾

(安徽省樅陽中學 安徽銅陵 246701)

著名教育家葉圣陶先生說：教是為了不教。這句話富含哲理。教是手段，不教才是目的，要實現教的結果“不教”，前提是學生能夠接受并掌握教師的教學內容，包括知識的運用范圍和運用方法，教師必須對教學內容和《課程標準》了然于心，明確學生的“最近發展區”。而要了解學生的情況，并采用有效的教學手段和方法發展學生的思維能力，從而使教學目標得到實現，筆者根據十多年來的教學實踐得出，對學生所做的試題進行錯因分析，診斷錯因形成原因，攻破思維障礙，是一種可行的教學途徑。現以一道概率題為例，分析數學學習過程中學生的常見錯誤類型和糾錯策略，探索出引領學生數學思維的教學策略。

一、案例分析

1.例題

某校為市運動會招收志愿者，從報名的6個人(其中女生4人，男生2人)中，任選3人進入面試。

(1)求選擇女生a或男生b的概率；

(2)設“選擇女生a”為事件A,“選擇男生b”為事件B,求P(B)和P(A|B)。

這是一道極其常規的概率題，筆者在所教學的兩個班級學生中進行測試。每個班級學生人數為60，其中，一個班級有33人出現失誤，另一個班級也有25人出錯。在進行試卷分析前，筆者對不同得分情況的學生，進行廣泛的調查和個別的交流，了解他們解答此題的情況。

2.常見錯解類型及其歸因

根據筆者多年的教學經驗記錄和錯因歸納，該題有下列常見錯解類型和原因：

出錯歸因：審題失誤。該類同學誤以為是求兩個概率:女生a被選中；男生b被選中。

出錯歸因：思維錯誤，以偏概全。該類同學以為“選擇女生a或男生b”等于“只有a被選和只有b被選”，沒有考慮到“a,b同時被選中”。

出錯歸因：概念原理不清。該類同學利用公式P(AB)=P(A)·P(B)求P(AB)，以致P(AB)求錯，忘了這個公式的前提是A,B是相互獨立事件。

錯解4: (1) 令“既沒選女生a也沒選男生b”為事件C，則

3.常見的正確解法

簡潔而正確的解題方法主要有下列二法：

(1)正解一：令“既沒選女生a也沒選男生b”為事件C，則

(2)正解二：選擇女生a或男生b可以看成是三個事件的和事件:選擇女生a而未選擇男生b,選擇男生b而未選擇女生a,女生a和男生b都被選中。

二、引導學生進行錯因分析的教學策略

1.歸納數學學習中的錯因類型

萬物變化皆有因。學生數學解題出現問題，其原因很多。從學習的主體、學習的過程、學習的目標和學習的情境劃分，主要有知識欠缺、心理緊張、解題不規范、思維不嚴謹或混亂等；從解題過程分析，主要錯因有雙基性失誤、策略性失誤、心理性失誤、邏輯性失誤等四個方面。歸納以前教學過程中記錄的學生錯題類型，最常見的幾大問題有以下幾類：

(1)對數學概念理解不透，以致解題時不能正確地寫出答案。

(2)計算粗心導致錯誤，一些學生計算能力較弱。

(3)思路混亂，推理過程不合理，論證欠嚴密，部分學生在證明時還多加條件。

(4)學生受思維定勢的影響，引起解題錯誤。

(5)審題不仔細，解題過程不規范，不能熟練運用數學語言去表達和解決問題。

(6)“會而不對，對而不全”的現象較為嚴重。

2.學生自我糾錯更重要

教是為了不教。學生自我糾正比老師反復講解和強調效果要好百倍。要真正糾正學生已經產生的錯誤，不僅要指出學生的錯誤所在，還要糾正學生書寫的錯誤答案，更要糾正學生錯誤的思維方式和思維習慣。這就要引導學生尋找答案與題目的關系，尋找自己的答案與標準答案的本質區別，讓學生自我糾錯。其方法是選擇學生訓練過程中出現的錯誤問題作為典型例題，指導學生如何從題目中提取關鍵信息，如何正確地運用相關知識進行數學抽象和邏輯推理，如何合理地進行數學建模、數學運算和數據分析，如何準確地組織答案，從而校正學生的思維，培養學生正確的思維方式，再給出一道變形問題讓學生進行分析解答，從而培養學生良好的數學思維習慣。

3.設計錯誤類型統計表

為了幫助學生解決這些問題，筆者設計了一個表格并發給學生，讓學生自我統計。表格如下。

錯誤類型統計表

三、發展學生數學能力的教學策略

1.重視基礎，回歸教材

教材又稱課本，是教師教學的教科書，是學生學習的藍本，是按照課程標準的要求編寫的教學用書，是一門課程的核心教學材料。課程標準規定了學科的教育目標和教育內容以及實施建議，它向教育者提出要面向全體學生，關注學生的多樣化發展，代表著國家意志。

高考是檢測學生的學習效果是否達到國家規定標準的一種手段。高考命題的基本原則就是“以考綱為準，以教材為本”，教材是很多高考題的來源，許多高考題就是對教材實例和練習的改編或擴展。因此，要想在高考中成功，教師必須掌握國家課程標準的要求，學生必須掌握課本的內容。比如上文中的例題就改編自人民教育出版社A版課本《數學》選修2—3第28頁第15題。題目節選如下：

從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽。

(1)如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？

(2)如果男生中的甲與女生中的乙必須在內，有多少種選法？

(3)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內，有多少種選法？

高考中的數學試題與課本中的例題彼此相似的不勝枚舉，因此我們每位數學老師都應具備對教材進行研究的態度和專業素質。

2.以人為本，聚焦素養

根據學習動力學原理，學生在學習的過程中除了受自身的認知結構、思維水平、智力因素等影響外，還受著自身的非智力因素的強烈影響。

就拿上文中的例題來說，后期就有學生自我糾錯時說“考試時比較心急，題目看錯，以為選2人” ，還有學生說“看到6個人中選3人，題中又提到6個人中有4名女生2名男生，馬上想到分層抽樣，但在分類處理的過程中發現越往后越分不清，最后慌了就瞎寫了”。這些現象不僅說明學生知識層面不足，還反映出學生的心理素質不過硬，意志力不強。要想收到好的學習效果，就必須促進學生智力因素和非智力因素共同發展。

教師的教是為了學生的學，所以在課堂教學中應留給學生充足的思考時間和充分的表達機會，老師不可滿堂灌。教師在教學中應緊緊圍繞學生, 要關注到學生個體的差異，不僅要“授人以魚”，更要“授人以漁”。

《普通高中數學課程標準》(2017年版)提出，數學教學的目標是培養學生的數學核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些素養相對獨立又交織在一起，是一個有機的整體。通過高中數學的學習，學生將獲得未來發展所需要的“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)和“四能”(從數學角度發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力)。因此，高中數學教學應落實學科核心素養的培養，以學生發展為本，從而實現立德樹人的教育目標。