如何求解斜面的機械效率

龍維利 宋謀勝

摘 要 通過具體例題分析差異化的斜面機械效率，進而對有用功、總功進行明確界定，有助于加深學生對斜面機械效率的理解和正確求解。

關鍵詞 斜面機械效率；教材；物理

中圖分類號：G652 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2018）12-0109-03

1 前言

機械效率是八年級物理“簡單機械”章節的重要部分，作為非常具有實用性的知識點，在人們的日常生活中有著廣泛應用[1]。八年級物理中通常運用滑輪組、斜面和杠桿等機械提升物體的三個實驗來演示機械效率[2]，而滑輪組和斜面機械效率的計算又常常在中考中出現。機械效率與做功緊密相關，但學生在計算機械效率時往往易混淆有用功、總功和額外功等概念[3]，遇到具體問題時常常不知道該選擇哪一個公式進行計算，甚至還易將效率與功率混為一談。本文通過對斜面機械效率的三個公式的適用條件進行分析，運用具體例題來明確界定有用功、總功，獲得斜面機械效率的正確求解，從而幫助學生加深對斜面機械效率的理解。

2 斜面的機械效率

機械效率計算的關鍵是如何正確判斷機械做功時的總功、有用功、額外功這三個物理名詞的含義及其適用環境。有用功又指目的功，是為達到某項目的而必須做的功；額外功又指無用功，是為達到該項工作目的而使用機械過程中不需要但又不得不額外做的功；總功是指在達到該項工作目的過程中實際做的所有功，或機械裝置在工作中消耗的總能量。機械效率則是指完成該項工作過程中，真正需要做的有用功占做的總功的百分比，它是反應機械性能優劣的重要標準之一。通常有W總=W有用+W額外，，

這表明提升機械效率的本質就是最大限度地降低額外功，從而提高有用功占總功的比例，其實是優化機械做功的效率。由于實際應用中額外功不可避免，因此總有W總大于W有用，從而使得機械效率總是小于1。

斜面作為一種最簡單的機械，由于總有摩擦阻力的存在，通過斜面提升重物而對其做功時，機械效率的計算又有許多特殊之處[4]。如圖1（a）所示，用平行于斜面的拉力F將重物G沿傾角θ的斜面勻速向上拉動距離S，重物升高h，已知斜面的滑動摩擦系數μ，求此過程中斜面機械效率。

對重物進行受力分析，如圖1（b），因物體在拉力F作用下沿斜面勻速向上運動，根據重物受力平衡則有：

由式（4）可知，斜面機械效率與斜面傾角和滑動摩擦系數緊密相關。欲增加斜面機械效率，就得節省額外功，這可從增大斜面傾角和減少斜面摩擦兩個方面著手。增大斜面傾角一方面會使物體沿斜面向下的重力分力增加，使得拉力直接作用在物體的比例增大，從而增加有用功；另一方面會使物體對斜面的正壓力減少而減小滑動摩擦力，從而降低額外功。減少斜面摩擦則可直接降低拉力克服摩擦阻力而做的額外功。

3 斜面機械效率的計算實例

為了進一步加深對斜面機械效率的理解，防止計算過程中出現歧義，下面通過適當的例題來具體分析。

【例題1】重為10 N的物塊在滑動摩擦因數為0.2，長L為5米，高h為3米的斜面上被力F=8 N由低端拉至頂端，斜面的傾角為37°，求該斜面的機械效率。

物塊的受力分析如圖2所示，根據有用功、額外功與總功的定義，此時求解該斜面的機械效率通常會有三種表達式：

為什么在相同條件下，同一斜面的機械效率用不同的表達式計算出的結果不一樣？以上三種解法究竟哪一種正確？一定的機械（如一個已知斜面）有一定的機械效率，它不會因為外力改變而變化。上題中同一斜面用不同方法卻解出三個不一樣的值，這源于對有用功和總功的理解不透徹。

第（1）種表達式中W有用=Gh=30 J，即是將物體提升高度h克服重力做的功。第（2）種表達式中W有用=FL-fL=32 J>Gh。fL是物體運動過程中克服摩擦力而做的功，屬于額外功。FL-fL=32 J>Gh，表明拉力F在同時克服摩擦而做額外功和克服重力使物體提升高度h而做有用功之外，還有一定的剩余功，該剩余的功就會轉化為物體的動能，即物體運動到斜面頂端時速度增加了，而非作勻速運動。

可見，第（1）和（2）種表達式中的主要爭議在于使物體速度增加所做的功是否也屬于有用功。八年級物理教材中提到使用杠桿、滑輪、斜面等簡單機械時是有目的的，有的為了省力，有的為了改變力的方向，有的為了省距離，可見有用是相對于所要達到的目的而言的。就斜面而言，使用斜面的目的是使物體提升高度h并且省力，斜面越長越省力。使用斜面的目的并不是使物體速度增加，所以使物體速度增加所做的功不算有用功。斜面的有用功指達到目的所做的最少功，Gh即可。

第（1）種表達式中W有用=Gh+fL=38 J，即拉力F克服物體重力而使之提升高度h和克服滑動摩擦力所做的總功（有用功+額外功）。第（3）種表達式中W總=FL=40 J>Gh+fL，即拉力做功FL除了克服物體重力而使物體提升高度h所做的有用功和克服滑動摩擦力所做的額外功之外，拉力F做功還有剩余，剩余的功轉化為物體的動能，使物體到達斜面頂端時速度增加了。

可見，第（1）和（3）種表達形式中的主要爭議在于使物體速度增加所做的功是否也算作總功。教材中對功的原理這樣解釋：“使用任何機械，動力對機械所做的功，一定等于機械克服阻力所做的功。”也就是說使用斜面時拉力F所做的功只需等于物體提升高度h而克服重力和摩擦阻力所做的功即可，若F較大，使物體運動到斜面頂端時速度增加了，那么這額外多做的功應不算作總功。這表明總功是指使用機械達到目的時至少需要做的功，此時的拉力為至少需要的拉力。若實際使用的拉力大于至少需要的拉力，那么拉力多做的那部分功不應計入總功。

通過以上分析可以看出，這三種解法中第一種是正確的。該題中加在物體上的動力只需克服重力沿斜面向下的分力mgsinθ=6 N和滑動摩擦力μmgcosθ=1.6 N即可，即需要的拉力達到7.6 N就行，而不是8 N。

【例題2】重為20 N的物塊在滑動摩擦因數為0.3，長L為8米，高h為4.8米的斜面上被力F=16.8 N由底端勻速拉至頂端，斜面的傾角為37°，求該斜面的機械效率。

對物塊進行受力分析，如圖3所示，同樣對物塊使用例題1中的三個求斜面機械效率的表達式來進行求解，則有：

可見，此題用三個求斜面機械效率的公式計算的結果是一致的。仔細觀察會發現，例題2中加在物體上的動力只需克服重力沿斜面向下的分力mgsinθ=12 N和滑動摩擦力μmgcosθ=4.8 N即可，即需要的拉力是16.8 N，剛好等于題中所給的拉力16.8 N。例題1中所給的拉力大于所需要的動力，物塊在斜面上做非勻速運動。例題2中所給的拉力正好等于所需要的動力，物塊在斜面上做勻速運動。

4 結論

通過本文對求解斜面機械效率的實例分析可知，正確理解斜面的有用功、總功是計算其機械效率的關鍵。求解斜面機械效率時，第（1）種表達式是普遍適用的，第（2）種表達式和第（3）種表達式在使用時是有條件的，其條件為物塊在斜面上做勻速運動，此時拉力F應剛好等于克服重力沿斜面向下的分力與滑動摩擦力之和。

參考文獻

[1]石浩宇.機械效率及其影響[J].科技風，2016（17）：255，257.

[2]張芳.“機械效率”教學案例及教學反思[J].北京教育學院學報：自然科學版，2012，7（4）：61-64.

[3]張生明.對“有用功、額外功、總功”三個概念的探討[J].物理教師，1994（12）：15.

[4]高寶山.從探究斜面的機械效率說起：關于物理教學中科學探究的思考[J].中學物理教學參考，2006（7）：52-53.