探析桿模型受力與做功的問題

劉揚春

摘 要：桿可分為輕桿（桿的重力可忽略）和非輕桿（桿的重力不可忽略），輕桿產(chǎn)生的彈力可以沿桿的方向，也可以沿其它方向。自由轉(zhuǎn)動的輕桿因只能發(fā)生拉伸（或壓縮）形變，產(chǎn)生的彈力一定沿桿的方向，對物體不做功；而一端固定的輕桿能發(fā)生不同方向的形變，產(chǎn)生的彈力可以不沿桿的方向，可由力的平衡或牛頓第二定律確定方向，對物體可能做功。非輕桿由于重力作用產(chǎn)生的彈力也可能不沿桿的方向，對物體可能做功。

關(guān)鍵詞：桿；受力問題；做功問題

物體發(fā)生彈性形變時，由于要恢復原狀，會對與它接觸的物體產(chǎn)生力的作用，這種力叫彈力。當桿因受外力作用而發(fā)生拉伸（或壓縮）形變時會產(chǎn)生徑向的彈力，即沿桿的方向；而當桿發(fā)生彎曲形變時產(chǎn)生切向的彈力，即沿垂直桿的方向；如果同時發(fā)生多種形變產(chǎn)生的彈力就可能沿其它任意方向。

桿可分為輕桿（桿的重力可忽略）和非輕桿（桿的重力不可忽略）。輕桿又可分為可自由轉(zhuǎn)動的輕桿和固定輕桿，可自由轉(zhuǎn)動的輕桿只能發(fā)生拉伸（或壓縮）形變，產(chǎn)生的彈力一定沿桿的方向；固定的輕桿能發(fā)生不同方向的形變，產(chǎn)生的彈力可沿任意方向，可由力的平衡或牛頓第二定律確定方向。非輕桿，由于重力作用，會發(fā)生不同方向的形變，彈力可能沿任意方向。

下題是普通高中課程標準實驗教科書物理1 P88作業(yè)第4題 [1 ]：

如圖1所示：一塔式起重機鋼索與水平懸臂的夾角θ=30°。當起重機吊著一件重G=3.0×104N的貨物時，鋼索和懸臂各受多大的力？（不考慮鋼索和懸臂自身受到的重力）

教師用書答案是 [2 ]：掛在懸臂O點的重物要對O點產(chǎn)生一個豎直向下的拉力作用，該拉力F的大小等于重物所受的重力G。該力的實際作用效果有兩個，一是對懸臂水平向左的壓力F1，二是對鋼索斜向右下的拉力F2（如圖2所示）。

筆者從工地上觀察到懸壁是固定在支架上而不是轉(zhuǎn)軸（如圖1），屬于固定桿模型，因此懸壁受到的壓力方向不是沿桿的方向，筆者認為僅本題的條件無法求出兩個力的大小。筆者將桿分為輕桿和非輕桿，通過桿的受力和做功兩個方向探析桿的物理模型。

1 輕桿模型

1.1 自由轉(zhuǎn)動輕桿受力與做功問題

1.1.1 自由轉(zhuǎn)動輕桿的彈力一定沿桿的方向

【案例1】如圖3是傳統(tǒng)壓榨機的原理結(jié)構(gòu)示意圖，O為活動鉸鏈，物塊M和滑塊N通過鉸鏈與桿OM和ON相連接，物塊M固定，滑塊N可上下自由運動，在O處施加一水平向左的力F，滑塊N對物體P壓力比F大得多，已知圖中L=1m，a=0.1m，F(xiàn)=1000N，求物體P受到壓力多大？（不計滑塊、桿的重力以及一切摩擦力）

【分析】力F的作用效果是對OM、ON兩輕桿沿桿的方向產(chǎn)生擠壓， 因此可將F沿桿OM、ON方向分解為F1、F2，如圖4（a）所示。

得：F=2F2cosα①

力F2的作用效果是使滑塊N對左壁有水平向左的擠壓作用，對物體P有豎直向下的擠壓作用， 因此，可將F2分解為豎直向下的力F3和水平向左的力F4，如圖4（b）所示。

1.1.2 自由轉(zhuǎn)動的輕桿對物體不做功

自由轉(zhuǎn)動的輕桿對物體的彈力一定沿徑向方向，在轉(zhuǎn)動過程中，彈力與瞬時速度始終垂直，對物體不做功。

【案例2】如圖5所示，長為L輕桿的一端可繞O點在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m的小球固定在輕桿的另一端，將輕桿水平放置后自由釋放，當小球運動到最低點時，小球的速度大小為多少？（不計空氣阻力）

【分析】本題輕桿可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，只能發(fā)生沿徑向拉伸形變，而不能發(fā)生切向彎曲形變，因而只能產(chǎn)生徑向的彈力，而不能產(chǎn)生切向的彈力，而徑向的彈力與小球的瞬時速度方向始終垂直，沒有做功，小球只有重力做功，機械能守恒。

1.2 固定輕桿的彈力

固定輕桿的彈力可能沿任意方向。

【案例3】如圖6所示，水平輕桿AB的一端固定在墻壁上，另一端安裝一定滑輪B。一輕繩的一端懸掛一質(zhì)量為30kg的重物，另一端跨過滑輪后固定于墻壁上C點，已知∠ABC=30°，則輕桿對滑輪彈力大小和方向為（g取10m/s2） （ ）

A.150N、方向由A指向B

B.150N、方向在兩繩夾角平分線且斜向上

C.300N、方向由A指向B

D.300N、方向在兩繩夾角平分線且斜向上

【分析】本題輕桿AB屬于固定的輕桿，其彈力的方向可由力的平衡求解，因為繩子的拉力為T=G=300N，而兩繩方向之間夾角為120°，故兩繩對滑輪的合力也為300N。由力的平衡得輕桿對滑輪彈力大小為300N，方向在兩繩夾角平分線方向上，故本題D選項正確。

【案例4】如圖7所示，在水平路面上，一小車上有一彎折輕桿，桿下端固定一質(zhì)量為m的小球。當小車向左以加速度大小為a做勻加速直線運動時，求桿對小球的彈力的大小和方向。

由圖9可知，輕桿對小球的作用力方向與加速度大小有關(guān)，它的方向不一定沿著桿的方向。

由案例3、4可知，固定輕桿的彈力方向不一定沿桿的方向，可能沿其它任意方向，因此筆者認為上述教材的習題解答不合理。

2 非輕桿模型

自由轉(zhuǎn)動的桿中，如果桿連接著兩個或以上的質(zhì)量不可忽略的物體時，那么在研究其中一個物體的受力時，自由轉(zhuǎn)動的桿就不能看作輕質(zhì)的桿模型，應(yīng)看作有重力作用的桿，此種情況桿不僅會產(chǎn)生拉伸形變，也會發(fā)生彎曲形變，桿對物體的彈力就不沿桿的方向，在轉(zhuǎn)動過程中，桿對這個物體就有做功。

【案例5】如圖10所示，一硬桿能繞中點O自由轉(zhuǎn)動，兩端固定甲、乙兩個小球，質(zhì)量分別為m甲和m乙（m甲

A.甲球的動能增加，重力勢能也增加，甲球機械能不守恒

B.乙球的動能增加，重力勢能減少，乙球的機械能守恒

C.桿對甲球、乙球均有做功

D.甲球、乙球組成的系統(tǒng)機械能守恒

【分析】桿在轉(zhuǎn)動過程中，由于桿兩邊小球重力作用，使桿發(fā)生拉伸形變和彎曲形變，分別產(chǎn)生切向和徑向的彈力，徑向方向的彈力與瞬時速度方向始終垂直不做功，而切向方向的彈力與瞬時速度方向在同一直線上，有做功。

如圖11所示，對乙球的切向彈力F乙切向與速度方向v乙相反， F乙切向做負功，乙球的機械能不守恒且在減少；對甲球的切向彈力F甲切向與速度方向v甲相同， F甲切向做正功，甲球的機械能不守恒且在增加。由于甲球、乙球系統(tǒng)只有重力做功，系統(tǒng)機械能守恒。所以A、C、D選項正確。本題錯解中，大多同學認為桿對兩個小

球的作用力沿桿的方向，桿對小球不做功，誤認為每個小球的機械能守恒。

本題中的桿兩邊都有小球，不能認為是自由轉(zhuǎn)動的輕桿模型。可以類推，下題中的桿也不可認為是自由轉(zhuǎn)動的輕桿模型。

【案例6】如圖12所示，一桿可繞O點在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，OA=AB=L。在桿上A、B兩點固定質(zhì)量都為m的小球，將桿拉成水平后，由靜止開始釋放，若不計一切摩擦和空氣阻力，當桿轉(zhuǎn)動到豎直方向時，求：

（1）B 球的速度大小。

（2）桿對小球A和B所做的功是分別多少？

【分析】此題容易錯誤認為兩個小球在轉(zhuǎn)動過程中機械能守恒， 而事實上若研究其中一個球時，桿就不能看作自由轉(zhuǎn)動的輕桿，桿會發(fā)生微小彎曲形變，對物體的彈力不沿桿的方向，桿對 A球或B球均有做功， 并使A或B機械能不守恒， 但是 A、 B組成的系統(tǒng)與外界沒有能量交換，系統(tǒng)機械能還是守恒的。

所以本題中桿對A、B兩球均有做功，且桿對兩球總功為零，系統(tǒng)只有重力做功 ，系統(tǒng)機械能守恒。

因此，在研究桿模型受力和做功問題時，應(yīng)該先判斷桿是否屬于輕桿模型，若屬于輕桿，再判斷是屬于可自由轉(zhuǎn)動的輕桿還是屬于固定的輕桿，最后通過形變的方向判斷彈力的方向，然后再判斷做功情況。

桿模型受力和做功歸納如下：

（1）輕桿模型

①可自由轉(zhuǎn)動輕桿，彈力沿桿的方向，對物體不做功。

②固定輕桿，彈力可沿任意方向，對物體可能做功。

（2）非輕桿模型

彈力可沿任意方向，對物體可能做功。

總之，只有可自由轉(zhuǎn)動輕桿的彈力一定沿桿的方向，其它模型的桿的彈力可沿任意方向。

參考文獻：

[1]中學物理教材編學組.普通高中課程標準實驗教科書物理1（必修）（第4版）[M].濟南：山東科學技術(shù)出版社，2011.

[2]中學物理教材編學組.普通高中課程標準實驗教科書物理1（必修）（第4版）教師用書[M].濟南：山東科學技術(shù)出版社，2012.