多參數幾何題解法的探究與啟示

陳鈺輝

摘 要：幾經錘煉的中考題特別值得研究，通過對2016年廈門市中考數學一道典型試題的探究，一方面分析多參數幾何探究題的一般方法，即通過審題，借助幾何直觀，做到整體把握題意，確定合理解題的方向，選擇靈活解題的方法，設計簡潔的解決程序，各個環節相互配合，從而有力破解解題思路.另一方面，引導和改進解題教學，既要扎實基礎訓練，又要對歷年的考題分門別類，以能力為導向，分解能力要素，加強變式教學.

關鍵詞：中考；多參數幾何題；解題；教學

選取有代表性的中考題進行深入研究，引導教學和訓練，對初中數學教師而言是一件很有意義的事情.本文將通過對2016年廈門市中考數學第25題的解析，試圖揭示解答幾何探究題的一般規律，改進解題的教學.

1 題文內容

如圖1，在平面直角坐標系xoy中，已知點A（1，m+1）， B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m>0，1

2 試題解析

本題是在坐標平面下有關四邊形的探究題，旨在綜合運用所學知識合理簡潔地解決問題，考查學生思維的靈活性和創新意識.

考生普遍反映此題很難，無從下手，搜索網頁中相關內容，包括教師們在數學討論群中的反饋，也都覺得難度很大，所能看到的解答過程大都繁雜，明顯背離了試題的考查意圖.那么，這一道題究竟難在何處呢？

本題的難點之一是變量多，抽象性強，思維層次高，思路難覓，使得不少同學不知所言，不解題意.但這正體現了探究題的特點，要求善于探究發現，總結規律.因此，此類問題解答的基本思路是將一般問題特殊化，先解決特殊化了的問題，再將結論推廣到一般的情況.

難點之二是數形結合的思想的運用，既要以形助數，比如通過圖形直觀探討解題方向，直觀得到圖形的性質，以及由三角形面積關系求值等；又要以數助形，比如通過點的坐標判斷線段AD、AB的位置關系，判斷點P的位置，以及通過計算進行推理和探求等.

難點之三，對于面積相等關系的處理方式，顯然不會是讓我們作大量的運算，而是應該進行化歸與轉化，合理簡潔地解決問題，體現思維的靈活性和探究性.

思路分析：

2.1 把問題特殊化，解決當m=0時的情況

題文：在平面直角坐標系xoy中，已知點A（1，1），B（a，1），C（3，3），D（1，a），1

簡解：如圖2，

①AD∥y軸，AB∥x軸，且AD=AB.

②直線AC是一、三象限角平分線，所以AC平分∠BAD；點P在AC上，所以P到AD、AB距離相等；所以△PAB與△PAD面積相等.

③由S△PAD=S△PBC得S△PAB=S△PBC；因為△BAP和△BPC的底AP、PC在同一直線AC上，高相同，且面積相等，所以點P為線段AC中點.

④由A、C的坐標易得中點P的橫坐標為2.

2.2 研究m≠0的情況，即中考的原題

當m≠0時，相對于m=0的情況，是把特殊的問題一般化，實際上是將整個圖形向上平移m個單位，因此平移后圖形的形狀、大小保持不變.與m=0時類似，易求作為線段AC的中點P的橫坐標為2.

具體過程如下：如圖3，

① ∵A（1，m+1），D（1，m+a）， 橫坐標都為1，

∴AD∥y軸。同理AB∥x軸.

② ∵C（3，m+3），∴點C到AD的距離為3-1=2，點C到AB的距離為（m+3）-（m+1）=2，兩距離相等.

∴點C在∠BAD的平分線上.

同理，點P到AB、AD的距離都為n-m-1，因此，點P在∠BAD的平分線上.

∴點P在線段AC上.

③ ∵AB=AD=a-1，且點P到AB、AD的距離相等，

∴S△PAD=S△PAB ，又已知S△PAD=S△PBC ，

∴S△PAB =S△PBC .

∵△BAP和△BPC的底AP、PC在同一直線AC上，高相同，

∴點P為線段AC中點.

④ ∴ 點P的橫坐標n-m=■=2.

2.3 答題失誤分析

（1）不理解參數、字母的含義

多參數的問題尤其考驗學生們的符號意識的水平，解題時要從數和形兩個角度把握字母、參數的意義.從數量上說，字母代表的數具有一般性，字母代表著規定范圍內的任何一個數；從圖形的意義上，不少參數具有幾何意義，比如點（1，1+m）（m>0）的幾何意義是將點（1，1）向上平移m個單位，點P（n，n）（n>0）表示點的橫縱坐標相同，在第一象限的角平分線上等等.多參數的問題，尤其需要理清參數間的關系，確定主元，理解參數取值的變化在數和形方面的意義.

（2）缺乏幾何直觀的意識

比如，不能直觀觀察、猜想出AD、AB平行于坐標軸，AC平分∠BAD，點P在AC上等信息，探究到簡潔的解題方向.在證明點P在直線AC上時，用的是代數的方法，證明點P的坐標符合直線AC的解析式，運算量大.

（3）解決問題的方法單一，思維的靈活性不足

比如，對于條件，有些同學直接用它來列方程求n-m的值，顯然運算量非常的大，能夠善終的很少.如果能把條件靈活地轉化為點P是線段AC的中點，本題將迎刃而解.

（4）缺乏分析和解決問題的基本策略、方法的訓練，過程紊亂

3 對教學的啟示

3.1 對解題的啟示

分析題目的過程一般經歷“分析解題條件→探究解題方向→選擇解題方法→設計解題程序”等步驟.對于多參數“解析幾何”類型的探究題，每個步驟都有其自身的特點.

（1）分析解題條件

每個題目都自成系統.首先要逐字逐句理解題意，理解每個條件和問題在數量和圖形方面的含義，在此基礎上把各條件綜合起來，理清各條件之間的關系，實現對題目的整體把握，這是解題的先決條件.

通過層層設問，引導思考，是理解題意的基本方法。比如，A、B、C、D、P都是動點，它們的坐標各有什么特點？常數代表的數量和位置特點是什么，變量代表的數量和位置特點又是什么？在平面上各個點之間的位置關系怎樣？四個點圍成的四邊形形狀、大小、位置關系如何？點和四邊形是怎樣運動變化的？等等.在回答這一系列有著內在關系、自發涌現的問題中，題意就逐漸明朗起來.

對于運動變化的圖形，我們通常選取一個特殊的位置，化動為靜，先研究靜態下的圖形的形狀、大小、位置關系，進而研究其運動變化的規律，探索變化中保持不變的性質.在這過程，注意數形結合，觀察猜想驗證，充分運用幾何圖形的直觀性.比如，當m=0時，圖形處于一個特殊的位置，這時，AD∥y軸，AB∥x軸，且AD=AB，A、P、C共線且在第一象限的角平分線上，由面積關系，可確定P的位置在線段AC的中點上；當m≠0時，圖形的變化規律是整體向上平移了m個單位.

通過這樣的分析，我們對題目就有了一個整體的把握.

（2）探究解題方向

當我們對題目有了整體的把握之后，需要梳理整體與局部的關系，關注隱含的、特殊的條件，分析問題與條件的關聯，借助幾何直觀，確定合理明了的解題方向.

本題中，要解決的問題是求解n-m的值，也就是求點P的橫坐標，反觀條件，A、C的橫坐標已知，只需確定點P是線段AC的中點就可以了.當然，如果關系復雜，也可通過列關于m、n的方程求值.這樣，求解的方向就確定下來了.

（3）選擇解題方法

分析和解決問題的方法是多種多樣的，不同的方法運算量思維量可能大相徑庭，思維品質也不盡相同.比如，如何證明點P在直線AC上？如何證明AC平分∠BAD？如何使用條件 ？這些問題如果使用代數的方法，即解析法，則運算量很大，很少能做完整，如果運用幾何的方法，就顯得簡潔明了.不同方法的選擇，體現了思維批判性、靈活性和創造性不同的品質.

（4）設計解題程序

最后，需要設計解答過程的先后順序，做到符合邏輯，先易后難，先合后分，使得解答過程層次清楚，條理分明，步驟合理.

總之，對于解析幾何探究題，通過審題，借助幾何直觀，做到整體把握題意，確定合理的方向，選擇靈活的方法，設計簡潔的程序，各個環節相互配合，從而有力破解解題思路.

3.2 對解題教學的啟示

（1）熟練掌握基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，這是解好綜合題、探究題的基礎.

比如，要解決本題，就需要具備熟練解決以下基礎題的技能.

①已知點A（1，m+1）和點D（1，m+a），求A、D兩點間的距離和直線AD的方程.

②已知點A（1，m+1）和點B（a，m+1），求A、B兩點間的距離和直線AB的方程.

③已知點A（1，m+1）和點C（3，m+3），求直線AC與直線x=m+1的夾角，直線AC與直線y=1的夾角.

④求點P（n-m，n）到直線x=m+1和直線y=1的距離.

⑤已知點A（1，m+1）和點C（3，m+3），求AC中點的橫坐標.

⑥已知AP平分∠BAD，AB=AD，求證：S△PAD=S△PAB .

⑦已知△ABC中，P為AC邊上的一點，若S△PAB =S△PBC，求證：P為AC中點.

⑧已知點的坐標，求直線方程，等等.這些基本技能的訓練貫穿于整個教學過程，平時要充分使用課本習題，加強變式，熟練掌握基本技能.

同時，熟練掌握直線、角平分線、三角形、四邊形、平移等相關的基礎知識，數形結合、化歸轉化等數學思想，積累觀察、猜想、驗證、動手實踐、反思質疑等數學活動經驗.

（2）掌握分析和解決探究題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識.

綜合題、探究題不是基礎題的拼盤，而是具有內在結構的有機整體，解決探究題與解決基礎題有著本質的不同，需要在解題實踐中不斷摸索提煉，掌握分析和解決問題的一些基本的策略、方法，并體驗方法的多樣性，把能力提高到新水平.

①訓練量要充分.我們反對刷題，反對題海戰術，但是，一定量的有效訓練則是必要的.如果訓練不充分，能力水平達不到，即便是曾經練習過的類似題目也未必能夠解答得出來.這樣的例子實在是太多了.

②以提高探究能力為重點，分門別類，加強變式教學.近年來，廈門市中考含參的解析幾何類的問題每年都考，能力要素和層次也大抵相當，比如：

題一：（2013年中考倒數第三題，本題滿分6分） 已知點O是坐標系的原點，直線y=-x+m+n與雙曲線y=■ 交于兩個不同的點A（m，n）（m≥2）和B（p，q），直線y=-x+m+n與y軸交于點C，求△OBC的面積S的取值范圍.

題二：（2014年中考倒數第三題，本題滿分6分）當m，n是正實數，且滿足m+n=mn時，就稱點P（m，■）為“完美點”，已知點A（0，5）與點M都在直線y=-x+b上，點B，C是“完美點”，且點B在線段AM上，若MC=■，AM=4■，求△MBC的面積.

題三：（2015年中考倒數第三題，本題滿分7分）如圖4，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m>2）， D（p，q）（q

可見，2016年的這道中考題與2015年的解幾題一脈相承，是在前幾年基礎上推陳出新，因此，如果我們能在教學中，以能力為導向，分解各個題目考查的能力要素，加強變式訓練，就能取得事半功倍的成效；反之，如果只是機械重復的訓練，練得再多也將是收效甚微.