多元函數微分學中幾個易混淆的問題探究

張坤

摘 要：多元函數微分學是一元函數微分學的拓展。研究多元函數的極限、偏導、微分是在一元函數微分學上自然的推廣，但其中也有區別。本文主要以舉例的方式探究多元函數偏導存在與連續、可微的關系。

關鍵詞：多元函數 偏導數 連續 全微分

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2017）12-0020-01

1 多元函數偏導數存在與連續的關系

在一元函數中函數在某點可導則其在這點必連續，但多元函數在某點偏導數存在而函數在這一點不一定連續。

舉例： 函數f（x，y）= ， x2+y2≠00， x2+y2=0

根據二元函數在點處的偏導數定義得：

fx（0，0）=

=

= = 0

同理可得fy（0，0）=lim△y→0 =0，該函數

在（0，0）點處偏導數存在。

但lim（x，y）→（0，0）f（x，y）=lim（x，y）→（0，0）

limx→0 =

該值與實數k有關，不唯一，極限不存在，則該函數在（0，0）點處不連續。

反之，多元函數在某點連續其在該點偏導數也不一定存在。

舉例：函數f（x，y）=

在點（0，0）處有lim（x，y）→（0，0）f（x，y）=

= 0 = f（0，0）

而fx（0，0）=lim△x→0

=lim△x→0

=lim△x→0 （極限不存在）

同理fy（0，0）也不存在。

2 多元函數偏導數存在與函數可微的關系

根據多元函數可微的必要條件（以二元函數為例）：若函數z=f（x，y）在P（x0，y0）處可微分，則函數在P（x0，y0）處的偏導數 和 存在，且函數z=f（x，y）在P（x0，y0）處的全微分為

dz=fx（x0，y0）△x+fy（x0，y0）△y=fx（x0，y0）dx+fy（x0，y0）dy。可知函數可微則偏導數必存在。

反之，偏導數存在函數不一定可微。

舉例：函數f（x，y）= ， x2+y2≠00， x2+y2=0

在（0，0）點處fx（0，0）=0，fy（0，0）=0，即函數偏導是存在的，但△z-dz=f（0+△x.0+△y）-f（0，0）-fx（0，0）△x+fy（0，0）△y

=

在△x→0，△y→0時，ρ= →0的過程中，當沿著y=kx路徑趨于（0，0）點時，

= =

= = 不趨于0

即△z-dz不是ρ的高階無窮小，從而由微分的定義知函數在（0，0）點處不可微。

3 總結

學生在學習這部分知識內容時，常常注重對多元函數極限、連續、偏導數、偏微分、全微分的計算或證明，往往忽略了它們之間的相互關系，本文通過舉反例的形式探究了多元函數偏導存在與連續的關系（多元函數偏導存在不一定連續，連續也不一定偏導存在）、多元函數偏導存在與可微的關系（多元函數偏導存在不一定可微，可微則偏導必存在）。

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