MS.Excel在偏微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué)中的應(yīng)用

古麗阿亞提·艾熱提　迪力熱巴·買合蘇提江　熱合買提江·依明

摘 要 在一維擴(kuò)散方程加權(quán)隱式差分格式的基礎(chǔ)上，用初始和邊界條件推導(dǎo)確定加權(quán)隱式差分方程解的矩陣方程；用MS.Excel的矩陣運(yùn)算、迭代計(jì)算和循環(huán)迭代計(jì)算功能，確定問題的數(shù)值解；巧用MS.Excel的繪制函數(shù)圖像功能，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”“形”及“動”的連貫形式，演示數(shù)值解的動態(tài)模擬仿真；實(shí)現(xiàn)交互性，建立不同加權(quán)系數(shù)確定的數(shù)值解和模擬的平臺。結(jié)果顯示，MS.Excel的計(jì)算結(jié)果直觀、快速、準(zhǔn)確、靈活，入門容易、簡單，MS.Excel可以作為偏微分方程數(shù)值解課程實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué)的一種簡單、直觀、高效的輔助工具。

關(guān)鍵詞 偏微分方程；MS.Excel；實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué)

中圖分類號：G642.423 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2017）20-0040-03

Application of MS.Excel on Experimental and Practice Teaching of Numerical Solution to Partial Differential Equation//Gulayat Hayat， Dilara Mahsut， Rahmatjan Imin

Abstract Based on the weighted implicit finite scheme of one-dimen-

sional diffusion equation， use initial and boundary conditions deter-

mined matrix equations of weighted implicit finite scheme. Combined

use matrix function， iterative calculation and iteration function of MS.

Excel to calculate the numerical solution of the problem. Through drawing image and animation visually demonstrated the dynamic solution of problem by using numeric， figure and move coherently. Interactive platform was established to study numerical solution and simulation with different weighted coefficients. The result shows that

numerical results which obtained from MS.Excel are not only intui-tive， fast and accurate， flexible， but also to study easy and simple. So MS.Excel is a simple， intuitive and efficient tools for experimental and

practice teaching of Numerical Solution to Partial Differential Equation.

Key words partial differential equations； MS.Excel； experimental and practice teaching

1 前言

現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程中的很多現(xiàn)象和特性，以偏微分方程來描述。一般這些偏微分方程的形式比較復(fù)雜，很難找到解析解，要用數(shù)值計(jì)算方法離散這些方程才能確定其數(shù)值解。

作為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的重要專業(yè)課，偏微分方程數(shù)值解的主要內(nèi)容之一是有限差分方法，其基本思想是先把問題的定義域進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后在網(wǎng)格點(diǎn)上，按適當(dāng)?shù)臄?shù)值微分公式將微商換成差商，把原問題離散化為差分格式，從而將微分方程問題轉(zhuǎn)化成為相應(yīng)的差分方程問題[1]。

課程內(nèi)容中主要討論不同偏微分方程的各種差分格式的推導(dǎo)及其收斂性和穩(wěn)定性的分析，教學(xué)內(nèi)容枯燥，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，教學(xué)效果不佳，主要原因是理論教學(xué)脫離實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué)。

隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)水平的不斷提高，在教學(xué)環(huán)境中計(jì)算機(jī)已普遍使用，教學(xué)改革越來越重視理論與實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)合，越來越重視能解決實(shí)際問題的應(yīng)用型人才的培養(yǎng)。因此，在偏微分方程數(shù)值解教學(xué)中，講清每一個偏微分方程的實(shí)際應(yīng)用背景的同時，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，這樣在啟發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)教學(xué)效果的同時，可以不斷提高學(xué)生親自動手，用科學(xué)計(jì)算的方法解決實(shí)際問題的能力。

偏微分方程數(shù)值解的實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué)是用高級計(jì)算機(jī)語言編寫程序求解問題的數(shù)值解并進(jìn)行數(shù)值模擬[2-3]，但掌握編程語言并達(dá)到編程水平非短期所能學(xué)會。普及性較高、入門容易、操作簡單的應(yīng)用軟件MS.Excel不僅具有一般的函數(shù)運(yùn)算和圖表處理功能，還有較強(qiáng)的循環(huán)迭代計(jì)算以及矩陣運(yùn)算功能。合理正確地組合使用這些功能，可以解決很多問題[4-8]

在一維情況差分格式為顯格式時，用MS.Excel的復(fù)制迭代功能可以求解問題[9-10]；差分格式為隱格式時出現(xiàn)線性方程組，此時先求解線性方程組，然后確定問題的解，但不能實(shí)時動態(tài)顯示求解結(jié)果。

本文以一維擴(kuò)散方程用加權(quán)隱式差分格式求解問題為例，用MS.Excel的矩陣運(yùn)算功能直接求解線性方程組，然后用MS.Excel的繪制圖像和循環(huán)迭代計(jì)算功能結(jié)合求解加權(quán)隱式差分格式方程，實(shí)現(xiàn)實(shí)時求解，動態(tài)可視化模擬演示和交互性模板。此模板選擇不同加權(quán)系數(shù)情況下，計(jì)算和模擬演示一維擴(kuò)散問題，說明MS.Excel可以作為偏微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué)的一種簡單、直觀、高效的輔助工具。endprint

2 一維擴(kuò)散方程加權(quán)隱式差分格式的推導(dǎo)

一維擴(kuò)散方程：

（1）

初始和邊界條件分別為：u（x，0）=g（x），a≤x≤b；u（a，t）=，u（b，t）=φ（t），t≥0。

將區(qū)域[a，b]×[0，T]進(jìn)行剖分，用τ和h分別表示時間t方向和空間x方向的網(wǎng)格步長。其中，h=（b-a）/J，J表示內(nèi)點(diǎn)的個數(shù)；xj=a+jh， j=0，1，...，J；τ=T/N（N為正整數(shù)），tn=nτ，n=1，2，...，N；用ujn表示方程（1）中在離散點(diǎn)（xj，tn）處的數(shù)值解。

對u（x，t），關(guān)于時間t，用向后差分；關(guān)于x，用中心差分，得方程（1）的差分格式：

（2）

關(guān)于時間t，用向前差分；關(guān)于x，同樣用中心差分，得到方程（1）的差分格式改寫成：

（3）

將θ和1-θ（0≤θ≤1）分別乘方程（2）和（3），其結(jié)果相加整理得到如下加權(quán)隱式差分格式：

其中，λ=τ/（h2），j=0，1，...，M，n=1，2，...，N。

初始條件變?yōu)椋簎j0=g（xj），j=0，1，...，J。邊界條件變?yōu)椋簎1n=，uJn=φ（tn），n=1，2，...，N。

差分格式（4）的穩(wěn)定性條件為：當(dāng)0≤θ<0.5時，2αλ

≤1/（1-2θ）；當(dāng)0.5≤θ≤1時，無限制穩(wěn)定[1]。差分格式（4）及初始和邊界條件結(jié)合到一起寫成矩陣形式，變?yōu)椋?/p>

AUn=BVn-1+bn （5）

其中：

這里a1=-αλθ，a2=1+2αλθ，b1=αλ（1-θ），b2=1-2αλ（1-θ）。

3 用MS.Excel實(shí)時求解和動態(tài)模擬演示

實(shí)例 一維擴(kuò)散問題：

（6）

這個問題的解析解是：

（7）

對問題（6）來說，方程（5）中的bn為零，因此不必計(jì)算。

MS.Excel求解方法 下面以上述加權(quán)隱式差分格式求解問題為例，介紹用MS.Excel進(jìn)行數(shù)值求解和動態(tài)模擬演示的基本方法和步驟。

第一步：迭代計(jì)算的調(diào)試。打開空的表格，選擇“文件”→“選項(xiàng)”→“公式”，打開迭代計(jì)算調(diào)試對話框，選擇“啟用迭代計(jì)算”，“最多迭代次數(shù)”調(diào)試為1，確定。

第二步：常數(shù)項(xiàng)和相關(guān)參數(shù)的輸入。如圖1所示，在打開的空表格中分別輸入常數(shù)α，求解域區(qū)間a、b，計(jì)算終止時間T，加權(quán)系數(shù)θ，x方向的網(wǎng)格步長h，λ和時間步長τ值；當(dāng)輸入時間步長時，在單元格H2中按差分格式的穩(wěn)定性條件輸入“=IF（E2<0.5，F(xiàn)2^2/（2*A2）*1/（1-2*E2），

F2^2*G2）”。

第三步：循環(huán)迭代計(jì)算及計(jì)算總次數(shù)等的輸入。如圖2所示，在單元格K2中輸入計(jì)算J的公式“=（C2-B2）/F2”，

在單元格K2中輸入計(jì)算總次數(shù)N的公式“=D2/H2”，在單元格M2中輸入循環(huán)迭代控制值的語句“=IF（M2

在單元格N2中輸入計(jì)算當(dāng)前時間語句“=2*M2*H2”。

第四步：矩陣A和矩陣B的輸入。用矩陣A的計(jì)算公式，在單元格A5中輸入“=1+2*A2*G2*E2”；在單元格B5中輸入“=-A2*G2*E2”；在單元格A6中輸入“=B5”；選擇單元格區(qū)域B6：C6輸入“=A5：B5”，同時按住“Shift”和“Ctrl”鍵確認(rèn)；選擇單元格區(qū)域B7：D7輸入“=A6：C6”，同時按住“Shift”和“Ctrl”鍵確認(rèn)；類次此方法輸入矩陣A的其他元素。同樣的方法用矩陣B的計(jì)算公式在單元格區(qū)域A16：K26內(nèi)輸入矩陣B的元素。

第五步：矩陣A逆的計(jì)算。選擇單元格區(qū)域K5：S13，輸入“=MINVERSE（A5：I13）”，同時按住“Shift”和“Ctrl”鍵確認(rèn)，就得矩陣A的逆陣。

第六步：初始條件的輸入。如圖3所示，在單元格A27中輸入“=B2”，在單元格A28中輸入“=A27+$F$2”；用鼠標(biāo)選中單元格A28，按住左鍵，當(dāng)光標(biāo)變成小十字時向下拖動至單元格A內(nèi)，到出現(xiàn)求解區(qū)間的左邊界b的值1為止，松開左鍵；在單元格B27中輸入“=SIN（PI（）*A27）”，上述同樣的選擇和拖動方法計(jì)算每一點(diǎn)的初始條件值。

第七步：輸入邊界條件。如圖3所示，單元格C27、D27、C37和D37中相應(yīng)的邊界條件或邊界條件的計(jì)算公式，本文中全為零。

第八步：輸入第一步和第二步的公式；選擇單元格區(qū)域C28：C36輸入計(jì)算第一步的公式“=MMULT（（K5：S13），MMULT（A16：K24，B27：B37））”，同時按住“Shift”和“Ctrl”鍵確認(rèn)；選擇單元格區(qū)域D28：D36輸入計(jì)算第二步的解公式“=MMULT（（K5：S13），MMULT（A16：K24，D27：D37））”，同時按住“Shift”和“Ctrl”鍵確認(rèn)。

第九步：循環(huán)迭代計(jì)算語句的輸入。再選擇單元格區(qū)域C28：C36輸入迭代計(jì)算公式“=IF（M2=1，MMULT（（K5：S13），

MMULT（A16：K24，B27：B37）），MMULT（（K5：S13），MMULT（A16：K24，

E27：E37）））”，同時按住“Shift”和“Ctrl”鍵確認(rèn)。

第十步：解析解計(jì)算的輸入。用方程（7）在單元格E27中輸入“=SIN（PI（）*A27）*EXP（-PI（）*PI（）*$N$2）”，選擇和拖動方法計(jì)算相應(yīng)時刻的解析解。

第十一步：數(shù)值解和解析解比較動態(tài)模擬演示。選擇

“插入”→“散點(diǎn)圖”→“帶平滑和數(shù)據(jù)標(biāo)志的散點(diǎn)圖”→“添加”，在“系列名稱”內(nèi)填“數(shù)值解”，在“X軸系列值（X）”

內(nèi)填“=Sheet！$A$27：$A$37”，在“Y軸系列值（Y）”內(nèi)填

“=Sheet1！$E$27：$E$37”；再選擇“添加”，在“系列名稱”內(nèi)填“解析解”，在“X軸系列值（X）”內(nèi)填“=Sheet！$A

$27：$A$37”，在“Y軸系列值（Y）”內(nèi)填“=Sheet1！$F$27：

$F$37”；按“確定”鍵后對圖形進(jìn)行修飾，得圖4所示結(jié)果。

以上所說操作完成以后，按住功能鍵F9，隨著單元格M2值的循環(huán)變化，相應(yīng)時刻的數(shù)值解和解析解變化，從而“數(shù)”“形”及“動”連貫的數(shù)值解和解析解圖的變化達(dá)到動態(tài)模擬演示目的。

4 結(jié)論

本文利用MS.Excel的函數(shù)運(yùn)算、矩陣運(yùn)算、迭代循環(huán)計(jì)算和函數(shù)圖像繪制等功能，提出以擴(kuò)散方程用加權(quán)隱式差分格式求數(shù)值解為例，用“數(shù)”“形”及“動”連貫直觀

的動態(tài)模擬顯示的方法。本方法具有很好的交互性，通過改變加權(quán)系數(shù)，對不同加權(quán)數(shù)可以進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和數(shù)值模擬，直觀和方便地觀察到不同加權(quán)系數(shù)對數(shù)值解的影響。最重要的是MS.Excel簡單易學(xué)，不需要掌握其他軟件和編程語言，能直觀、快速、準(zhǔn)確、靈活地解決問題。由于操作的簡單性和直觀性，激發(fā)初學(xué)者親自動手操作的欲望，更進(jìn)一步調(diào)動學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)習(xí)效率和使用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力。總之，MS.Excel作為偏微分方程數(shù)值解課程實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué)輔助工，具有良好的優(yōu)越性、簡潔性和推廣性。

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