具有垂直傳播及感染期的乙肝傳播模型

陶玉杰，馮賀平

(1.通化師范學院 數學學院,吉林 通化 134000;2.河北軟件職業技術學院 智能工程系，河北 保定 071000)

具有垂直傳播及感染期的乙肝傳播模型

陶玉杰1，馮賀平2

(1.通化師范學院 數學學院,吉林 通化 134000;2.河北軟件職業技術學院 智能工程系，河北 保定 071000)

研究具有垂直傳播和感染期的乙肝病毒感染模型,考慮了發生率函數為非線性時模型的性質，以乙肝的平均感染期作為時滯，利用Routh-Hurwite判別法得到了系統的疾病消失的平衡點局部漸近穩定的條件,找到了基本再生數R0,通過構造Lyapunov函數,證明了地方病平衡點的全局漸近穩定性.

乙肝模型;時滯;全局漸近穩定;非線性發生率;垂直傳播

由乙肝病毒引起的乙型肝炎在世界范圍內流行,乙肝感染威脅人類的健康,兒童及青壯年特別容易受到病毒的侵襲[1].乙型肝炎在中國流行廣泛,是一種危害很大的疾病[2].因此,研究乙肝的流行趨勢、傳播規律及有效控制它的傳播是亟待解決的問題.

數學模型在傳染病的傳播方式及疾病的控制研究方面有著重要的應用[3-4].用數學模型描述乙肝的傳播動態能夠為乙肝的預防和控制提供一定的參考[5-7].周蘭等[8]提出了適合中國國情的乙肝傳播動態數學模型;龐建華等[9]通過模型分析了疫苗及其他的控制手段對控制乙肝傳播的影響;王開發等[10]提出了在有限區域內帶有擴散及時滯的乙肝病毒感染模型;馬之恩等[11]研究了具有空間分布及飽和發生率的乙肝傳播模型;邱志鵬等[12]研究表明,雖然乙肝接種的增加直接影響艾滋病毒傳播的減少,但是乙肝接種比例增加可能間接導致 HIV 流行的異常加速.

1 模型介紹

乙肝不僅通過日常生活傳播,更主要的是家族之間的垂直傳播.中國的乙肝患者中30%～50%是母嬰之間垂直傳播的.感染乙肝病毒的父母生育的新生兒在一出生的時候就可能已經被感染,導致乙肝的傳播即具有水平傳播又有垂直傳播的特性[13-14].

在本文中,考慮了具有垂直傳播、非線性發生率βSpI及乙肝病毒感染期的乙肝傳播模型(1).模型中考慮了對乙肝感染者的連續治療策略,假設S(t)、I(t) 及R(t)分別表示t時刻的乙肝易感者、乙肝病毒感染者以及康復者的數量.具體模型如下:

S′(t)=bm(S+R)-βSpI-bS+q′δI,

I′(t)=βSpI-βe-δτSp(t-τ)I(t-τ)+qδI-δI-γI-αI,

(1)

R′(t)=γI+βe-δτSp(t-τ)I(t-τ)-bR+bR+bm′(S+R)+αI.

模型的參數意義如下:

1)t時刻人口總數N=S+I+R,假設易感者和康復者生育的新生兒為易感者，感染者生育的沒有被感染的新生兒也為易感者.

2)常數b>0表示乙肝感染者及康復者的出生率及死亡率，δ表示感染者的出生率和死亡率.正常數γ為乙肝感染者的自然恢復率，q(q≤1)為乙肝感染者的垂直傳播率,記q′=1-q，q′

3)βSpI表示易感者與乙肝病毒攜帶者接觸的發生率,其中β為乙肝患者與易感者接觸的有效傳染率.τ>0為乙肝病毒的平均感染期，βe-bτSp(t-τ)I(t-τ)表示經過感染期τ后康復的個體數量.

2 主要結果

2.1 無病平衡點的穩定性

S′(t)=bm(1-I)-βSpI-bS+q′δI，

(2)

I'(t)=βSpI-βe-δτSp(t-τ)I(t-τ)qδI-δI-γI-αI.

定義

(3)

定理1如果R0<1,對所有的τ≥0,系統(2)的無病平衡點E0(m,0) 局部漸近穩定;如果R0>1,無病平衡點E0(m,0) 不穩定.

證明 系統(2)的平衡點滿足下面的方程:

bm(1-I)-βSpI-bS+q′δI=0;

(4)

βSpI-βe-δτSpI+qδI-δI-γI-αI=0.

顯然，系統的無病平衡點為E0(m,0).在平衡點E0(m,0) 處將系統線性化,令S(t)=X(t)+m，I(t)=Y(t),則

X′(t)=-bX(t)+(q′δ-βm-bm)Y(t),

Y′(t)=(βmp+qδ-δ-γ-α)Y(t)-βe-δτmpT(t-τ).

可以得到上面特征方程的其中一個特征根為λ1=-b<0,而另外一個特征根λ2由下面方程λ-βmp+βmpe-(δ+λ)τ+δ+γ+α-qδ=0決定.

令f(λ)=λ-βmp-βmpe-(δ+λ)τ+δ+γ+α-qδ，如果R0>1,對于實數λ,可得

因此，f(λ) =0 有一個正實根.故如果R0>1,無病平衡點E0(m,0) 不穩定.

若R0<1，平衡點E0(m,0)局部穩定.否則，Reλ≥0 與Reλ=(δ+γ+α-qδ)(R0e-Reλτcos(lnλτ)-1)≤(δ+γ+α-qδ)(R0-1)矛盾.因此,當R0<1時無病平衡點E0局部漸近穩定.

定理2如果R0<1,對所有τ≥0,系統(2)的無病平衡點E0(m,0) 全局漸近穩定.

2.2 地方病平衡點的穩定性

如果R0>1,系統(2)存在唯一的正平衡點E1(S*，I*),其中

得到下面結論:

定理3如果R0>1,條件(7)及(9)滿足,則對于所有的τ≥0,系統(2)的地方病平衡點E1(S*，I*)全局漸近穩定.

證明 令S(t)=X(t)+S*，I(t)=Y(t)+I*,得到線性化系統

由線性化系統得特征方程

λ2+Aλ+B+(Cλ+D)e-λτ=0,

(5)

其中

A=δ+γ+α-qδ-βS*p+βe-δτS*p+b,

B=(b+βI*S*p-1)(δ+γ+α-qδ-βS*p)+βI*S*(p-1)(βS*p+bm-q′δ),

C=βS*pe-δτ,

D=(b+βI*S*p-1)βS*pρ-δτ-(βS*p+bm-q′δ)βe-δτI*S*(p-1).

當τ=0時,特征方程變為

λ2+(A+C)λ+(B+D)=0

(6)

由式(5)可以看到當且僅當

A+C>0,B+D>0,

(7)

所有的特征根都是負的.

當τ≠0 時,如果λ=ωi是特征方程(5)的根,有

-ω2+De-ωτi+Aωi+B+Dωe-ωτi=0,

分離實部與虛部,得到

B-ω2+Cωsinωτ+Dcosωτ=0,

Aω+Cωcosωτ-Dsinωτ=0.

將上面的2個方程平方相加,得到如下的多項式方程

ω4+(A2-C2-2B)ω2+B2-D2=0,

(8)

得

易得

A2-C2-2B>0，B2-D2>0.

(9)

因此,當R0>1時方程(8)沒有正實根,相應的可以證明,當R0>1 時,系統(2)的地方病平衡點E1(S*，I*) 是局部漸進穩定的.

接下來,討論系統(2)的地方病平衡點E1(S*，I*) 全局漸近穩定的充分條件,首先給出下面的引理.

引理1[15]對所有的ξ∈[-τ,0),系統(1)滿足初始條件S(ξ)=S(0)>0，I(ξ)=I(0)>0及R(0)>0,則對于t>0,系統(1)的解S(t)、I(t)及R(t) 都是正的.

引理2[15]對所有的ξ∈[-τ,0),系統(1)滿足初始條件S(ξ)=S(0)>0，I(ξ)=I(0)>0及R(0)>0，則S(t) ≤max{1,S(0)+I(0)+R(0)}=M.

定理4對所有的ξ∈[-τ,0)，系統(1)滿足初始條件S(ξ)=S(0)>0，I(ξ)=I(0)>0及R(0)>0,當R0>1時,疾病感染期τ滿足

其中M=max{1，S(0)+I(0)+R(0)},地方病平衡點全局漸近穩定.

證明 令S(t)=X(x)+S*，I(t)=Y(t)+I*,R(t)=Z(t)+Z*,得到下面的線性化系統

接下來,為了證明平衡點E1(S*，I*，R*) 的全局穩定性,構造Lyapunov函數

ρ(X(t)+Y(t))[-bX(t)-(γ+bm+α)Y(t)-βpe-δτI*S*(p-1)X(t-τ)-

βe-δτS*pY(t-τ)]+Y(t)[βpI*S*(p-1)X(t)+βS*pY(t)-βpe-δτI*S*(p-1)X(t-τ)-

βe-δτS*pY(t-τ)+(qδ-δ-γ-α)Y(t)]+Z(t)[βpe-δτI*S*(p-1)X(t-τ)+

βe-δτS*pY(t-τ)+(γ+α-bm′)Y(t)-bZ(t)]=

-bρX2(t)-bZ2(t)-[ρ(bm+γ+α)-(qδ-δ-γ-α)-βSp]Y2(t)+[βpI*S*(p-1)-

ρb-ρ(bm+γ+α)]X(t)Y(t)+(γ+α-bm′)Z(t)Y(t)-ρβpe-δτI*S*(p-1)X(t)X(t-τ)-

(βρe-δτS*p+βe-δτS*p)Y(t)Y(t-τ)-(βρe-δτS*pX(t)Y(t-τ)-(ρβpe-δτI*S*(p-1)+

βρe-δτI*S*(p-1))Y(t)X(t-τ)+βρe-δτI*S*(p-1)Z(t)X(t-τ)+βe-δτS*pZ(t)Y(t-τ).

對上面的乘積項利用Cauchy-Chwartz不等式，可得不等式

令V(t)=V1(t)+V2(t),得到Lyapunov函數，則

將不等式V1(t)帶入，得

3 結論

本文研究了具有垂直傳播及感染期的乙肝傳染病模型的動力學性質.模型中根據疾病傳播的特征采用了非線性發生率，考慮了乙肝的垂直傳播特性,并且引入了乙肝的平均感染期，因此模型符合問題實際,通過分析得到了疾病消失與否的基本再生數R0,利用Routh-Hurwite判別法研究了平衡點的局部穩定性,通過構造Lyapunov函數證明了平衡點的全局穩定性,為制定和評測乙肝的防治策略提供一定的理論依據和參考.參 考 文 獻：

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HepatitisBvirusinfectionmodelwithverticaltransmissionandinfectionperiod

TAOYujie1,FENGHeping2

(1.Department of Mathematics，Tonghua Normal University，Tonghua 134000，China; 2.Intelligent Engineering Department,Hebei Software Institute,Baoding 071000,China)

Hepatitis B virus infection model with vertical transmission and infection period were studied.By consider the epidemic models with nonlinear incidence rate，making infection period as time delay,and making use of Routh-Hurwite criterion to prove that condition of disease-free equilibrium is local asymptotic stability,we obtained a basic reproductive numberR0and proved the global asymptotic stability of endemic equilibrium by using the Lyapunov functional method.

HBV epidemic model; time delay; global asymptotic stability; nonlinear incidence rate; vertical transmission

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.06.002

2017-02-17

吉林省教育廳資助項目(吉教科合字[2015]441)

陶玉杰(1975—),女,吉林通化人，吉林通化師范學院副教授,主要從事微分方程及應用控制方面的研究.

E-mail:369387310@qq.com

O175

A

1000-1565(2017)06-0567-05

王蘭英)