拉普拉斯變換求解轉動參考系下的真實自由落體

陸 林，孫 斌*，楊友昌

（遵義師范學院物理與電子科學學院，貴州遵義563006）

自由落體是最常見的一種運動，在大學物理教材[1]及文獻[2]中只單獨討論了地球自轉的影響或空氣阻力的影響，這不利于學生正確認識真實的自由落體運動。文獻[3]雖同時考慮了兩者的影響，但微分方程組的求解方法過于復雜[2,4-6]，不便于學生理解。《理論力學》教材[1]及文獻[6]舍去了二階無窮小量或運用了拉格朗日常數變易法來求解，同時受坐標原點選取的影響，使得求解過程更為復雜，可操作性差，因此尋找更簡便的辦法來求解此類微分方程組是本文的目的之一。作者通過拉普拉斯變換，將復雜的微分方程組變換為簡單的代數方程組，保留了二階無窮小量（），減少了方程求解所需的初始條件，并且不必考慮坐標原點選取的影響，解此微分方程組，給出了完整的自由落體運動的物理圖像。

1 自由落體運動微分方程組的建立

圖1 自由落體運動坐標系統示意圖

2 自由落體運動微分方程組的求解

此方程組最高階是二階，求解時由于受坐標系原點及初始條件的影響，方程難以求解。利用位置矢量和動量關系，可以將此方程組降為一階，即：

接下來采用拉普拉斯變換法求解。運用拉普拉斯變換法求解（1）式是直接對坐標求解，首先要假設坐標原點。當運用動量表達式后，（1）式變為（2）式，即一階微分方程，此時無需假設坐標原點，只需假設初始動量值即可求出方程的解。

對方程組（4）進行拉普拉斯反演變換，可得到方程組（2）的解：

（5）式除以質量m，便可得各方向上的速度：

對（6）式積分即得真實高空自由落體在各方向上的運動方程（即方程組（1）的解）：

3 結果分析

上述求解得出的運動方程表達式較復雜，很難看清楚影響自由落體運動的主要因素有哪些。因此，對運動方程做泰勒展開得：

為了更加直觀地認識真實的自由落體，代入實際數值：地球自轉角速度，空氣阻力系數b＝8.5×10-5，質點所處北緯對應的角度下落所用時間，所得運動軌跡如圖2所示。

圖2 自由下落小球真實的軌跡

圖2畫出了三維直觀運動軌跡圖（為了和觀察保持一致，故將z軸取負），而在其他的文獻[7]中雖畫出了南北（x）或東西（y）方向上的運動軌跡圖，但不便于學生理解。由圖2可知自由落體運動曲線是一條空間拋物線，自由落體不僅僅在豎直方向上有位移，實際上在南北與東西方向上均有位移，并且隨著下落高度的增加而增加，但位移量都很少，例如在x方向10-4m、在y方向為10-1m的量級。由圖2也可知這個高度一般在1千米級別，而日常的自由落體基本上都是這個高度或更少，因此南北與東西方向上的位移一般可以忽略不計，因此人們往往認為自由落體運動是直線運動。

4 結論

本文在三維轉動參考系下，基于牛頓定律建立了三個方程構成的二階線性微分方程組，首先將二階微分方程組轉化為用動量表達的一階線性微分方程組，然后運用拉普拉斯變換將動量一階微分方程組轉換為簡單的代數方程組求解，并通過拉普拉斯反演變換即可求得各個方向上的動量，最后通過積分方法即可得到真實自由落體在各個方向上的運動方程；在求解過程中，采用動量形式是降階的過程，由于采用動量作為中間變量，求解時只需要考慮初始速度而與坐標原點的選取無關。拉普拉斯變換方法對一階微分方程求解很高效，即可避免復雜的矩陣運算又無需舍去二階無窮小量，從而大大簡化了計算過程。真實自由落體運動表達式在一定條件下可轉換為理想的自由落體運動表達式，運動方程作圖顯示其軌跡是一條拋物線。以上求解方法也可以推廣到求解其他具有初始速度的落體運動。本工作提供了一種簡便、適應范圍廣的求解二階線性微分方程組的方法，且有助于學生更直觀地認識高空真實的自由落體運動。

[1]周衍柏.理論力學教程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2009.180-193.

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[3]樓智美.空氣阻力影響北半球自由落體的偏離[J].力學與實踐,2001,23(2):68-69.

[4]田慧竹,宋從芝.利用拉普拉斯變換求解微分方程[J].高等數學研究,2012,15(1):67-68.

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