高等數(shù)學中極限教學的幾點思考

袁德有

摘 要：極限思想和方法是解決微積分問題的基本工具，是微積分教學的重點和難點。文章從認識極限方法產(chǎn)生的必然性、理解極限方法的實質(zhì)、了解極限方法在解決實際問題中的作用三個方面進行探究，為學生學好極限提供了一條有益的途徑。

一、認識極限方法產(chǎn)生的必然性

教師開始講解極限知識時，可在學生原有的數(shù)學基礎(chǔ)上提出一些簡單問題引導學生思考。例如，關(guān)于矩形的面積A=a·b的問題，教師可用以下方式來教學：當我們規(guī)定邊長是1的正方形的面積是1=1×1時，自然就能推出一邊長是2，另一邊長是3的矩形面積是2×3。由于邊長是有理數(shù)，可以按照一定的比例得出來，所以就有有理數(shù)邊長的矩形面積，應(yīng)該是a×b。如果邊長是無理數(shù)a，b時，怎么辦呢？經(jīng)過思考，學生會意識到要用邊長是有理數(shù)an、bn這種矩形面積An去逼近A，亦即要用an去逼近a，用bn去逼近b。然后再讓學生回憶圓的面積、圓錐體積產(chǎn)生的情況，使學生清楚，碰到這樣一些基本問題時，要解決它們，也應(yīng)當運用極限方法。教師講到求解變速直線運動在某時刻的瞬時速度，以及求曲邊梯形面積等問題時，應(yīng)再繼續(xù)闡述極限方法產(chǎn)生的必然性。

二、理解極限方法的實質(zhì)

極限的方法，實質(zhì)上就是一種逼近的方法。例如，圓的面積通過用內(nèi)接正多邊形的面積An，當n無限增大時，可用極限知識確定圓的面積；對于變速直線運動在[t0，t0+△t]上的平均速度—，當△t→0時，可用極限知識來確定它在時刻t0時的瞬時速度等。從中可清楚地看出，為了確定某一個數(shù)量，由于我們不能一下子求得所期望的這個數(shù)，我們便采用一步步逼近目標的辦法，即我們確定的不是這個數(shù)本身，而是它的某些近似值，是一連串愈來愈準確的近似值。對這一連串的近似值進行考察，直到把數(shù)量準確地確定下來。

假若這一連串數(shù)x1，x2，x3，…，xn穩(wěn)定在某個常數(shù)a上，最重要的現(xiàn)象是這一連串數(shù)中的每一個數(shù)xn與a之差的絕對值（|x1-a|，|x2-a|，|x3-a|，…，|xn-a|，…）可以變得任意小，即{xn-a}是無窮小量，所以掌握并處理好無窮小量，便成為學好極限的關(guān)鍵。

an趨向于a的過程是一個無限接近的過程，亦即|an-a|趨于零的過程是一個無限變小的過程；但就這個過程的每一步，亦即對于每一個給定的n來講，接近或變小的過程都是有限的（特殊情況例外），通過ε的任意性，便從有限過渡到無限。通過這些問題的剖析，可使學生認識到極限是一個描述變量在無限過程中變化趨勢的重要概念，同時也了解了極限方法是人們從有限中認識無窮、從近似中認識精確、從量變中認識質(zhì)變的一種數(shù)學方法。

三、了解極限方法在解決實際問題中的作用

運用極限方法，常能抓住主要矛盾，抓住問題本質(zhì)，使要解決的問題簡單化。例如，考察函數(shù)f（x）=ex，我們已知：ex=1+x+—+…+—+0（xn），（x→0），這樣在x=0點附近，我們不僅可以通過多項式Pn（x）=1+x+—+…+—對函數(shù)ex的許多屬性進行理論上的分析，而且可根據(jù)給定x=0點附近的每一個x值計算出準確到任意程度的近似值，這樣，無論是對變量進行理論上的分析，還是計算它的數(shù)值，運用極限方法，?？善鸬胶喕幚韱栴}的作用。

再如：證明有極限的數(shù)列是有界的。即存在常數(shù)M>0，使變量xn的絕對值都小于M，這樣一種屬性由關(guān)系式|xn|N時，皆有|xn-a|<1成立。因此，當n>N時，|xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|，取M=max{|x1|，|x2|，|x3|，…，|xn|，1+|a|}，則對所有的正整數(shù)n ，不等式|xn|

極限理論是微積分學的基礎(chǔ)，它從方法論上突出地表現(xiàn)了微積分學不同于初等數(shù)學的特點，學生初學時難度較大，如何使其盡快地掌握極限方法這一重要數(shù)學工具，值得我們進一步思考。

參考文獻：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林 玎，等.高等學校教材：數(shù)學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.