高等數學中極限教學的幾點思考

袁德有

摘 要：極限思想和方法是解決微積分問題的基本工具，是微積分教學的重點和難點。文章從認識極限方法產生的必然性、理解極限方法的實質、了解極限方法在解決實際問題中的作用三個方面進行探究，為學生學好極限提供了一條有益的途徑。

一、認識極限方法產生的必然性

教師開始講解極限知識時，可在學生原有的數學基礎上提出一些簡單問題引導學生思考。例如，關于矩形的面積A=a·b的問題，教師可用以下方式來教學：當我們規定邊長是1的正方形的面積是1=1×1時，自然就能推出一邊長是2，另一邊長是3的矩形面積是2×3。由于邊長是有理數，可以按照一定的比例得出來，所以就有有理數邊長的矩形面積，應該是a×b。如果邊長是無理數a，b時，怎么辦呢？經過思考，學生會意識到要用邊長是有理數an、bn這種矩形面積An去逼近A，亦即要用an去逼近a，用bn去逼近b。然后再讓學生回憶圓的面積、圓錐體積產生的情況，使學生清楚，碰到這樣一些基本問題時，要解決它們，也應當運用極限方法。教師講到求解變速直線運動在某時刻的瞬時速度，以及求曲邊梯形面積等問題時，應再繼續闡述極限方法產生的必然性。

二、理解極限方法的實質

極限的方法，實質上就是一種逼近的方法。例如，圓的面積通過用內接正多邊形的面積An，當n無限增大時，可用極限知識確定圓的面積；對于變速直線運動在[t0，t0+△t]上的平均速度—，當△t→0時，可用極限知識來確定它在時刻t0時的瞬時速度等。從中可清楚地看出，為了確定某一個數量，由于我們不能一下子求得所期望的這個數，我們便采用一步步逼近目標的辦法，即我們確定的不是這個數本身，而是它的某些近似值，是一連串愈來愈準確的近似值。對這一連串的近似值進行考察，直到把數量準確地確定下來。

假若這一連串數x1，x2，x3，…，xn穩定在某個常數a上，最重要的現象是這一連串數中的每一個數xn與a之差的絕對值（|x1-a|，|x2-a|，|x3-a|，…，|xn-a|，…）可以變得任意小，即{xn-a}是無窮小量，所以掌握并處理好無窮小量，便成為學好極限的關鍵。

an趨向于a的過程是一個無限接近的過程，亦即|an-a|趨于零的過程是一個無限變小的過程；但就這個過程的每一步，亦即對于每一個給定的n來講，接近或變小的過程都是有限的（特殊情況例外），通過ε的任意性，便從有限過渡到無限。通過這些問題的剖析，可使學生認識到極限是一個描述變量在無限過程中變化趨勢的重要概念，同時也了解了極限方法是人們從有限中認識無窮、從近似中認識精確、從量變中認識質變的一種數學方法。

三、了解極限方法在解決實際問題中的作用

運用極限方法，常能抓住主要矛盾，抓住問題本質，使要解決的問題簡單化。例如，考察函數f（x）=ex，我們已知：ex=1+x+—+…+—+0（xn），（x→0），這樣在x=0點附近，我們不僅可以通過多項式Pn（x）=1+x+—+…+—對函數ex的許多屬性進行理論上的分析，而且可根據給定x=0點附近的每一個x值計算出準確到任意程度的近似值，這樣，無論是對變量進行理論上的分析，還是計算它的數值，運用極限方法，常可起到簡化處理問題的作用。

再如：證明有極限的數列是有界的。即存在常數M>0，使變量xn的絕對值都小于M，這樣一種屬性由關系式|xn|N時，皆有|xn-a|<1成立。因此，當n>N時，|xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|，取M=max{|x1|，|x2|，|x3|，…，|xn|，1+|a|}，則對所有的正整數n ，不等式|xn|

極限理論是微積分學的基礎，它從方法論上突出地表現了微積分學不同于初等數學的特點，學生初學時難度較大，如何使其盡快地掌握極限方法這一重要數學工具，值得我們進一步思考。

參考文獻：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林 玎，等.高等學校教材：數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.