中考數學中分類討論思想例析

甘宗全

[摘 要]分類討論思想是中考數學常常涉及的內容.研究分類討論思想能有助于提高學生的解題能力.

[關鍵詞]分類討論思想；中考；數學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2017）32003001

中考常常會考查分類討論問題，需要學生將所有可能存在的方面考慮清楚，針對各個不同方面進行問題處理.中考涉及分類討論問題，主要包括方程組問題、三角函數問題和兩車相距問題.解決這些問題需要將存在的情況詳細列舉出來，全面分析，實現對問題的處理.我針對以下幾方面進行例題分析，以便讓學生可以做到舉一反三，充分掌握分類討論思想.

一、方程組問題的分類討論

方程組問題主要包括不等式和一元二次方程，要求學生熟練掌握方程組分類討論思想，實現對問題的有序解決.

1.不等式分類討論

不等式分類討論問題，主要考查學生對方程參數大小的確定，讓學生針對可能存在的情況去分析、解決問題.例如，|ax+5|>3，求x的取值范圍.很多學生都會列方程去解不等式，得出x>-2/a和x<-8/a.此時，我會引導學生說：“大家在解答不等式時，不等式左右分別除以正數和負數，方程組符號會怎樣發生變化呢？”學生回答道：“除以正數符號不變，除以負數符號改變.”接著，我會問學生：“題目中是否給了a的范圍，它的取值可能為哪幾種情況呢？”在這個時候，學生立刻意識到自己考慮問題的不全面性，紛紛回答道：“a的取值范圍為a>0、a<0和a=0這三種情況，需要針對這三種情況進行分類討論.”這時，我讓學生應用分類討論思想去解決這個問題.很多學生充分考慮各種可能存在的情況，得出ax+5>3、ax+5<-3.接著得出x>-2/a、x<-2/a、x<-8/a和x>-8/a，把a=0、a<0、a>0這三種情況代入其中，從而得到最終的答案.

2.一元二次方程分類討論

一元二次方程分類討論，通過一些隱含條件來限定參數的范圍，針對不同情況進行分類討論.例如，一元二次方程（a-1）x|a-3|+x2-3=0，求a的值.這時我會問學生：“這道題目怎么去應用分類討論思想呢？”學生在看完問題后回答道：“該方程為一元二次方程，需要有x2這個項，需要討論a-3是否等于2.”接著，我會讓學生按照自我分析的思想去解答.此時，學生參照a-3=2和a-3≠2進行討論，得出a=5時，方程組為5x2-3=0，Δt>0，所以方程組有解，a=5方程成立.接著，將|a-3|=1和|a-3|=0進行分類討論，最終得到a所有可能取得的值.

二、三角函數問題的分類討論

三角形的分類討論，主要集中在對三角形內角和為180°、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形和兩邊和大于第三邊和兩邊差小于第三邊這六種情況.需要學生將這些問題綜合在一起，得出最終的答案.例如，x2-9x+18=0的兩個根為等腰三角形的兩個邊，求三角形的周長.我在對此類問題進行分類討論時，首先會讓學生把方程組的解列舉出來.此時，學生通過解方程得到x=3和x=6.我會問學生：“三角形的周長為多少呢？”很多學生回答道：“12和15.”很少一部分學生回答道：“只能是15.”我在這個時候會讓回答“15”的學生來分析原因，該生此時說道：“當等腰三角形三個邊為3、3、6時，此時不滿足兩邊和大于第三邊的原則，所以周長不能為12.”我在這個時候對學生總結道：“大家在解答問題時，一定要結合三角函數相關的性質和定理，學會運用分類討論思想，最終得出正確的答案.”

三、相遇問題的分類討論

在中考應用題考試中，常常會以兩車相距問題來考查追及問題、相遇問題和相遇次數問題.因此，要求學生在解決兩車相距問題時，充分進行分類討論，把實際問題考慮全面.例如，A、B兩地相距450千米，甲、乙兩車從A、B兩地出發相向而行，甲車速度為120千米/小時，乙車為80千米/小時，經過t小時兩車相距50千米，問t的取值為多少小時？，我會問學生：“兩車相距50千米是怎樣的情況呢？”學生思考后回答道：“一共兩種情況，一種為兩車還未相遇，距離為50千米；一種為兩車相遇后，彼此分開后距離達到50千米.”這時，我讓學生按照這兩種思路去解答問題.學生可以得出“120×t+80×t=400”“120×t+80×t=500”這兩個數學表達式，得出t=2小時和t=2.5小時.接著，我會問學生：“大家在思考這類問題時，會出現怎樣的問題呢？”很多學生回答道：“只會單一考慮兩車相遇前距離為50千米，而沒有考慮到兩車相遇后，彼此分離再次達到50千米這種情況.”我總結道：“大家在解決兩車相距問題時，一定要考慮全面兩車之間的位置問題，把可能存在的問題詳細列舉出來，便于得出最全面的答案.”

中考數學中，分類討論思想是需要學生靈活掌握的，能夠全面把可能存在的情況考慮全面，最終得到最正確的答案.因此，要求學生合理劃分分類討論問題的類型，把方程組問題、三角函數問題、兩車相距問題的解題要素考慮全面，針對不同類型采用恰當的解題方式，充分提高學生的解題能力.

（責任編輯 黃桂堅）