高中數學立體幾何的解題技巧

龔柏源 長沙市長郡中學

高中數學立體幾何的解題技巧

龔柏源 長沙市長郡中學

在升學考試中，立體幾何屬于必考內容，在高中數學知識學習過程中，立體幾何是重點、難點，也是熱點，想要做好應考準備，需要深入探究并積累立體幾何的解題技巧。本文將通過列舉例題的形式，從添加輔助線和函數方程思想等方面來詳細探討高中數學立體幾何的解題技巧，以進一步提升自己的立體幾何解題能力。

高中數學 立體幾何 解題技巧

立體幾何作為高中數學的重要組成因子，在學習過程中需要同學們具備一定的空間想象能力。立體幾何對于學習者的特殊要求，使得我們在學習此板塊的知識時感覺比較困難。為了更好的學習立體幾何知識，掌握此模塊知識要點，需要在學習過程中巧妙應用輔助線添加技巧，并將函數方程思想用于立體幾何題目的解題過程中，以簡化立體幾何題目的解題過程。

1 添加輔助線

在解決立體幾何題目時，添加輔助線是一種常規化技巧，所有的學生都必須要掌握。在立體幾何圖形中，通過添加恰當的輔助線，利用輔助線對圖形進行特殊處理，便能夠簡化立體幾何的解題過程，快速得出題目答案。尤其是在解答二面角的相關題目時，為了有效提高自己的立體幾何解題技巧，需要根據所學知識合理在圖形中添加輔助線，以此來幫助自己更好的認識立體圖形。

例題1 在如圖1所示的二面角中，ABCD是矩形，其中A、B屬于α，C、D屬于l，p屬于β，現有PA與α垂直且PA=AD，AB的中點是M，PC的中點是N，試證明MN是異面直線AB與PC的公垂線。

圖1

解析：在此道題目中，要想對題目進行直接證明，其難度較大，結合題設條件PC的中點是N可知在立體幾何題目解答中，中點與中點之間是可以相互連接的，進而形成中位線。所以在圖1中，我們可以通過添加輔助線的方式，將AB的中點與PC的中點連接起來，也即將M、N連接起來，進而形成中位線。并且，找到PD的中點，假設為Q，使得PQ與DQ相等，然后將QN與QA連接起來，這樣，便能夠為問題的證明提供思路，幫助我們解答此道題目。具體證明過程如下。

證明：在PD上做一點Q,讓PQ=DQ并連接QN與QA

又因為ABC是矩形，AB的中點是M

所以AM//DC，并且AM=DC，

所以，QN//AM,并且QN=AM,

所以，AMNQ也是平行四邊形，

所以AQ//MN

又因為PA與α垂直，

所以AB⊥AD，

因為PA與PD屬于同一個平面PAD，

所以AB與平面PAD是相互垂直的

所以，CD垂直與平面PAD，

然后，根據線面垂直定理可得：

AQ垂直PC，

所以MN垂直PC，

所以，MN是異面直線AB與PC的公垂線。

在解決此道題目時，輔助線的添加至關重要，如果不知道如何添加輔助線，那么此道證明題便會無從下手。通過這道題目的分析解答，也可以指知道在立體幾何題目解答過程中適當添加輔助線的重要性。但是需要注意，輔助線并不能夠隨意添加，而是要根據基本公理和立體幾何的相關性質恰當的添加。只有這樣，才能夠達到預期目的，幫助我們更好的解答立體幾何題目，從而提高我們的立體幾何解題技巧。由于Q是PD的中點，PC的中點是N所以在三角形PDC中QN是其中位線，

2 靈活應用函數方程思想

函數方程思想是一種基本的數學思想，貫穿于高中數學知識的始終。函數方程思想主要是利用函數的相關性質來解答題目，比如函數的對稱性、奇偶性、單調性以及周期性等。在立體幾何題目解答過程中應用函數方程思想時，只需要將題設中的已知條件以及所研究的問題轉化為函數關系，并建立相應的函數關系式，或者是構建中間函數，然后結合函數圖像、性質，對相關關系式進行分析、轉化，進而對不等式或者是方程進行計算求值，最終解決題設問題。在立體幾何題目解答過程中巧妙應用函數方程思想的過程將通過例題2詳細展示。

例題2 有一個圓錐，其底面半徑是2，高是6，在圓錐內部內接一個圓柱，試求當圓柱的高是多少時其全面積最大，并求其最大值。

解析：通過分析題設條件可知，本題的主要目的是為了求取圓柱全面積的最大值，這是一道典型的立體幾何題目。在解答此道題目時，不能夠完全借助立體幾何知識，也不能夠將其全部數字化轉化為函數知識，而要根據題設中所給出的立體幾何體的特征先畫出圓錐的軸截面，然后利用自己所學的立體幾何知識和積累的空間想象能力將空間問題轉化為平面問題。在分析時要利用二次函數的相關知識構建圓柱底面半徑與其高的關系式，并構建全面積公式的二次函數模型，最后解答此道題目。具體的解答過程如下。

解：先根據題設條件作出如圖中所示的圓錐的軸截面，并設內接圓柱的半徑是r，且0＜r＜2,高為x。

圖2

所 以S 內 接 圓 柱 全 面 積=2π．r2+2π．r．x=2π

通過化簡可得：

3 結束語

高中數學中的立體幾何難度較大，其需要我們擁有較好的空間想象能力，在解題過程中，需要講究方式方法，合理應用輔助線添加、函數方程思想等解題技巧。并且，在題目的解答過程中，還需要探索積累其他的有效解題技巧。

[1]左芳萌.探討高中數學中的立體幾何解題技巧[J].新課程(中學),2017,(01):94.

[2]張雨桐.芻議高中數學中的立體幾何解題技巧[J].科技風,2017,(04):30.