例談應用幾何畫板編寫動點幾何的綜合題

劉維兵

【摘要】動點幾何問題一直是中考的熱點，突破這類試題的關鍵在于教師會應用幾何畫板編寫動點幾何的綜合題，用案例的形式說明編寫試題的四個步驟——畫基本圖、增添動點、尋找特例、取舍試題，以啟迪他人.

【關鍵詞】動點幾何；幾何畫板；編寫試題

動點幾何問題一直是中考的熱點，這類問題綜合性強、題目靈活多變、難度較大，學生常感到困難甚至無從入手，問題出現在學生身上，但問題的根源卻在教師，本文結合自己教學案例來介紹這類問題的求解策略——畫基本圖、增添動點、尋找特例、取舍試題，供同仁們學習參考.

一、一般選擇特殊的圖形入手，這樣可以避免繁難的計算

已知一個直角三角形紙片ABC，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3.

畫圖：如圖1所示.

畫出線段AC=4：應用“線段直尺工具”畫出線段AC，選中AC應用“度量”中“長度”度量AC，選中AC長度單擊右鍵，選中“屬性”下“數值”中“精確度”修改為“十分之一”，應用“移動箭頭工具”單擊A點，再應用鍵盤中箭頭鍵左右調整，使AC=4.

畫出線段BC=3：應用“移動箭頭工具”單擊C點和線段AC，應用“構造”中“垂線”做出垂線，應用“點工具”在直線上取一點B使BC=3，選中直線BC應用“顯示”中“隱藏對象”.

畫出線段AB：應用“線段直尺工具”連接AB兩點，就得到直角三角形ABC.

二、應用幾何畫板中“變換”進行幾何作圖

點E，F分別是直角三角形紙片ABC中AC，AB邊上點，連接EF，將紙片中∠BAC沿EF折疊，折疊后點A落在直角三角形紙片ABC邊上的點D處.

思考：點A落在直角三角形紙片ABC邊上可能有三種情況：分別落在AB，AC，BC.

畫圖：點A落在AB上，如圖2所示，點A落在AC上，如圖3所示，點A落BC在上，如圖4所示.

應用“點工具”在邊上取一點D，應用“線段直尺工具”連接AD兩點，應用“構造”中“中點”做出中點，選中線段AD和中點應用“構造”中“垂線”做出垂線分別交AB，AC于E，F，連接DE，DF，EF.

三、拖動動點，觀察點的變化，尋找特殊位置，思考關聯知識

如圖2所示，點A落在AB上，當F為AC的中點時，EF的長由三角形相似求出.

如圖3所示，點A落在AC上，當F為AC的中點時，EF的長度由中位線求出.

如圖4所示，點A落在BC上，當DE∥AC時，四邊形AEDF是一個菱形，考查菱形的知識.

如圖5所示，點A落在線段BC上，AF的長是在一定范圍變化的，考查求取值范圍的方法.

點A落在直線BC上，讓學生學會分類思考：當DB=1，點D可能在線段BC上，如圖5所示，要運用全等三角形的知識，也可能在CB延長線上，如圖6所示，要運用勾股定律解決.

四、根據教學內容，按照由易到難，合理取舍題目，適當增加逆向思考試題

如圖5所示，試題選擇折疊后點A落在直線CB上的點D處.

（1）當D運動到DE∥AC時，試判斷四邊形AEDF的形狀，并證明你的結論；

（2）當DB=1時，求AF的長；

（3）當D在BC邊上時，求AF的取值范圍.

解析（1）如圖4所示，當D運動到DE∥AC時，四邊形AEDF為菱形.

由題意得AE=ED，AF=DF，∠AFE=∠DFE.

由DE∥AC，得∠AFE=∠DEF，∠DEF=∠DFE，DE=DF.

∴AE=ED=DF=AF，∴四邊形AEDF為菱形.

設計目的：讓學生掌握平行線的性質、三角形全等、等腰三角形的判定、菱形的判定等知識，并會靈活應用.

（2）如圖5所示，當DB在線段B上.

∵DC=3-1=2，設AF=DF=x，CF=4-x，

在Rt△CDF中，22+（4-x）2=x2，解得x=2.5=AF.

如圖6所示，當DB在BC的延長線上.

∵DC=4=AC，∠A=∠D，DE=AE，

∴△CDE≌△CAE，

由折疊得△FDE≌△FAE得CE=EF，AF=4.

設計目的：讓學生掌握三角形全等、勾股定律等知識，會運用勾股定律列方程求線段的長，讓學生學會分類思考的數學思想方法.

（3）如圖5所示，設AF=DF=y，CF=4-y，DC=x.

在Rt△CDF中，x2+（4-y）2=y2，y=0.125（x2+16）.

∵0≤x≤3，y隨x增大而增大，

∴當x=0時，AF=2；當x=3時，AF=3.125，

∴2≤AF≤3.125.

設計目的：讓學生掌握求取值范圍可以轉化成函數來求.

逆向變式訓練設△DFG的面積為S1，△ACD的面積為S2，p=S1∶S2，當516≤p≤13時，求CD的變化范圍.

設計目的：通過逆向思維訓練，讓學生靈活地掌握求取值范圍的常用方法：幾何特殊值法、函數最值法.

此題巧妙地利用幾何畫板把幾何多種情況集中到一起，做到化繁為簡，轉化為規則圖形，從變換和運動的角度來研究幾何圖形，通過幾何畫板中“變換”“構造”等研究手段和方法，來探索與發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理，培養學生的分析、解決問題的能力、空間觀念和推理能力.

【參考文獻】

[1]芮炳輝.幾何畫板在高中數學教學中的應用例談[J].中國教育技術裝備，2011（19）：145.

[2]張建軍，陳唐明.巧用幾何畫板開展數學實驗教學[J].中國現代教育裝備，2011（10）：36-38.